Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn \(a+b+c\le3\) chứng minh rằng:

\(\dfrac{ab}{\sqrt{c^2+3}}+\dfrac{bc}{\sqrt{a^2+3}}+\dfrac{ca}{\sqrt{b^2+3}}\le\dfrac{3}{2}\)

Nhận xét; ta cần biến đổi giả thiết để biến đổi được mẫu

nhận thấy BĐT phụ: \(\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{3}\ge ab+bc+ca\)

Khi đó ta sẽ có \(ab+bc+ca\le3\)

Thay vào vế trái và áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta được

\(\dfrac{ab}{\sqrt{c^2+3}}+\dfrac{bc}{\sqrt{a^2+3}}+\dfrac{ca}{\sqrt{b^2+3}}=\dfrac{ab}{\sqrt{c^2+ab+bc+ca}}+\dfrac{bc}{\sqrt{a^2+ab+bc+ca}}+\dfrac{ca}{\sqrt{b^2+ab+bc+ca}}=\dfrac{ab}{\sqrt{\left(a+c\right)\left(b+c\right)}}+\dfrac{bc}{\sqrt{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}+\dfrac{ca}{\sqrt{\left(b+c\right)\left(a+b\right)}}\le\dfrac{ab}{2}\left(\dfrac{1}{a+c}+\dfrac{1}{b+c}\right)+\dfrac{bc}{2}\left(\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{a+c}\right)+\dfrac{ca}{2}\left(\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{a+b}\right)=\dfrac{ab+bc}{2\left(a+c\right)}+\dfrac{ab+ca}{2\left(b+c\right)}+\dfrac{bc+ca}{2\left(a+b\right)}=\dfrac{b\left(a+c\right)}{2\left(a+c\right)}+\dfrac{a\left(b+c\right)}{2\left(b+c\right)}+\dfrac{c\left(a+b\right)}{2\left(a+b\right)}=\dfrac{a+b+c}{2}\le\dfrac{3}{2}\)

Khi đó ta có điều phải chúng minh

Dâu = xảy ra khi a=b=c=1

Bạn B Ngọc được mẹ dắt đi mua một cái đồng hồ với giá 980000 đồng. Chị bán hàng thấy bạn ngoan và có thành tích học tập tốt (đạt hs tiên tiến) nên quyết định tặng B Ngọc một Vocher trị giá 100000 và một Vocher giảm giá 10% để mua sản phẩm của cửa hàng. Vì thế mẹ cho B Ngọc mua thêm cái máy tính cầm tay. Tổng cộng mẹ của B Ngọc đã mua hết 1295000 đồng. a) Hỏi giá niêm yết của máy tính cầm tay là bao nhiêu? b) Biết rằng cửa hàng vẫn lời 15% so với giá mua vào khi bán cái máy tính cho B Ngọc. Hỏi cửa hàng đó đã nhập cái máy tính với giá bao nhiêu? c) Cửa hàng đã lời 10% so với giá bán ra cái đồng hồ cho B Ngọc. Hỏi đồng hồ đó đã được cửa hàng nhập với giá bao nhiêu?