Gọi \(x\)là số học sinh cả 3 mốn Toán , Văn , Ngoại ngữ \(\left(x>0\right)\)

Ta có :

Số học sinh chỉ giỏi Toán là :

\(70-49-\left(32-x\right)\)

Số học sinh chỉ giỏi Văn là :

\(65-49-\left(34-x\right)\)

Số học sinh chỉ giỏi ngoại ngữ là :

\(62-34-\left(32-x\right)\)

Do có 6 học sinh không đạt yêu cầu 3 môn nên : 

\(111-6=70-49-\left(32-x\right)+65-49-\left(34-x\right)+62-34-\left(32-x\right)+\left(34-x\right)\)

\(\Rightarrow82+x=105\Rightarrow x=23\)

có 10 con chó đang đi có người mang 9 con chó và lấy đi 383 con và chia 3 vây còn lai bao nhiêu con chó

Đáp án:

Kẻ \(OH\perp AB\)tại H

Không mất tính tổng quát, giả sử A nằm giữa M và B.

Ta có \(MA+MB\)\(=MA+MA+AH+HB\)\(=2MA+AH+HB\)

Đường tròn (O;2cm) có dây AB, \(OH\perp AB\)tại H \(\Rightarrow\)H là trung điểm AB \(\Rightarrow AH=HB\left(=\frac{AB}{2}\right)\)

Do đó \(MA+MB=2MA+AH+HB\)\(=2MA+2AH\)\(=2\left(MA+AH\right)\)\(=2MH\)

Xét đường thẳng OH có MH là đường vuông góc kẻ từ M đến OH và OM là một đường xiên kẻ từ M đến OH nên \(MH\le OM=3cm\)\(\Rightarrow MA+MB=2MH\le2OM=2.3=6\)

Dấu "=" xảy ra khi \(MH=OM\Rightarrow H\equiv O\Rightarrow\)Đường thẳng d đi qua O.

Vậy GTLN của \(MA+MB\)là 6cm khi đường thẳng d đi qua O

Ta có:

Áp dụng định lý Pi-ta-go, ta có công thức để tìm đường chéo hình vuông\(=a\sqrt{2}\)

\(\Rightarrow\)Cứ sau một lần như thế thì cạnh hình vuông sẽ tăng lên \(\sqrt{2}\)hay diện tích hình vuông sau 1 lần như thế thì sẽ gấp\(\sqrt{2}^2=4lần\)

\(\Rightarrow\)Cứ một lần hình vuông bằng cạnh hình vuông trước thì diện tích sẽ gấp 4 lần:

\(\Rightarrow\)Nếu diện tích hình vuông thứ 2022 hay lặp lại cái trên 2022 lần thì diện tích sẽ gấp \(2022\cdot4=8088lần\)hình vuông ban đầu.

Gọi diện tích các hình vuông là S₁ ; S₂ ; ... S₂₀₂₂ với độ dài cạnh tương ứng là a ; a₂ ; a₃ ; ... ; a₂₀₂₂

Dựng hình vuông thứ n có cạnh a_n với độ dài cạnh là đường chéo hình vuông có cạnh a_{n - 1} (n \(\inℕ^∗\) )

=> S_n = (a_n)² (1)

S_{n - 1} = (a_n-1)² (2) 

Khi đó (a_n)²= 2(a_{n - 1})² 

=> \(a_n=\sqrt{2}a_{n-1}\)(3) 

Từ (3)(2)(1) => \(S_n=2.S_{n-1}\)

Khi đó với 1 < n < 2023

=> \(S_{2022}=2S_{2021}=2^2S_{2020}=...=2^{2021}S_1\)= 2²⁰²¹a²

a, Ta có : 

`2(a^2 + b^2) – (a + b)^2`

`= 2a^2 + 2b^2  – a^2 – 2ab – b^2`

`= a^2  – 2ab + b^2`

`= (a – b)^2 ≥ 0`

`=> đpcm`

Dấu “=” xẩy ra

`<=> a = b`

b, Ta có : 

 `3(a^2 + b^2 + c^2) – (a + b + c)^2`

`= 3a^2 + 3b^2 + 3c^2 – a^2 – b^2 – c^2 – 2ab – 2bc – 2ca`

`= 2a^2 + 2b^2 + 2c^2 – 2ab – 2bc – 2ca`

`= (a^2 – 2ab + b^2) + (b^2 – 2bc + c^2) + (c^2 – 2ca + a^2)`

`= (a – b)^2 + (b – c)^2 + (c – a)^2 ≥ 0` 

`=> đpcm`

Dấu “=” xây ra

`<=> a = b = c`

Cách khác : Biến đổi tương đương

a, \(\left(a+b\right)^2\le2\left(a^2+b^2\right)\)

\(\Leftrightarrow a^2+2ab+b^2\le2a^2+2b^2\)

\(\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\)luôn đúng

b, \(\left(a+b+c\right)^2\le3\left(a^2+b^2+c^2\right)\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc\le3a^2+3b^2+3c^2\)

\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ca\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0\)(Luôn đúng)

bổ sung đề (d) cắt P(x) tại 2 điểm phân biệt nhé 

Hoành độ giao điểm tm pt 

\(-x^2=3x+4m-6\Leftrightarrow x^2+3x+4m-6=0\)

Để (d) cắt (P) tại 2 điểm nằm về 2 phía trục tung 

\(\Leftrightarrow x_1x_2=4m-6< 0\Leftrightarrow m< \frac{3}{2}\)

à dòng đầu mình nghĩ đề sai nên định bổ sung nhưng đề ko sai nên bạn coi ko có nhé do mình quên xóa 

TL:

Bài khó quá,Tôi lớp 9 mà cô chưa dạy

Thôi xl nha

HT

Thực ra nó là bài toán thực tế mà lúc lập hpt nó ra vậy.

\(\hept{\begin{cases}x+\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}z=204\\y+\frac{1}{3}x+\frac{1}{3}z=204\\z+\frac{1}{4}x+\frac{1}{4}y=204\end{cases}}\)

Ta có: \(\hept{\begin{cases}x+\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}z=204\\y+\frac{1}{3}x+\frac{1}{3}z=204\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\frac{1}{3}x+\frac{1}{6}y+\frac{1}{6}z=68\left(1\right)\\\frac{1}{2}y+\frac{1}{6}x+\frac{1}{6}z=102\left(2\right)\end{cases}}}\)

Lấy (1) trừ (2) \(\Rightarrow\frac{1}{6}x-\frac{1}{3}y=-34\) (3)

Lại có: \(\hept{\begin{cases}y+\frac{1}{3}x+\frac{1}{3}z=204\\z+\frac{1}{4}x+\frac{1}{4}y=204\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}y+\frac{1}{3}x+\frac{1}{3}z=204\left(4\right)\\\frac{1}{3}z+\frac{1}{12}x+\frac{1}{12}y=68\left(5\right)\end{cases}}\)

Lấy (4) trừ (5) \(\Rightarrow\frac{11}{12}y+\frac{1}{4}x=136\) (6)

Từ (3) và (6) ta có hệ \(\hept{\begin{cases}\frac{1}{6}x-\frac{1}{3}y=-34\\\frac{11}{12}y+\frac{1}{4}x=136\end{cases}}\)

Bạn tự giải hệ tiếp rồi thay vào 1 trong 3 pt ban đầu tìm x rồi đối chiếu điều kiện nha

em xin lỗi vì em lớp 5

Ta có \(\hept{\begin{cases}x=\frac{1}{3}\left(y+z+t\right)\\y=\frac{1}{4}\left(x+z+t\right)\\z=\frac{1}{5}\left(x+y+t\right)\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}4x=x+y+z+t\\5y=x+y+z+t\\6z=x+y+z+t\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}4x=6\\5y=6\\6z=6\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=\frac{3}{2}\\y=\frac{6}{5}\\z=1\end{cases}}\)

mà x + y + z +  t = 6

<=> \(\frac{3}{2}+\frac{6}{5}+1+t=6\Leftrightarrow t=\frac{23}{10}\)

Vậy hệ có 1 nghiệm duy nhất (x;y;z;t) = \(\left(\frac{3}{2};\frac{6}{5};1;\frac{23}{10}\right)\)

Dễ thấy \(\Delta AFE~\Delta BAE\left(g.g\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{AFE}=\widehat{BAE}\)

mà \(AEDB\)nội tiếp nên \(\widehat{BAE}+\widehat{BDE}=180^o\)

\(\Rightarrow\widehat{AFE}+\widehat{BDE}=180^o\)

\(\Rightarrow\widehat{CFE}+\widehat{CDE}=180^o\)

suy ra \(CDEF\)nội tiếp.