Số cách lấy 3 cây bút bất kì là \(C^3_{15}\left(cách\right)\)

Số cách lấy 3 cây màu xanh là \(C^3_4\left(cách\right)\)

=>Xác suất là \(\dfrac{C^3_4}{C^3_{15}}=\dfrac{4}{455}\)

Có đúng 1 bộ số là (1,2,3,4) có tổng bằng 10

Không gian mẫu: \(A_6^4\)

Chọn bộ số 1,2,3,4 có 1 cách, xếp chúng theo hàng ngang có \(4!\) cách

Xác suất: \(P=\dfrac{4!}{A_6^4}=\dfrac{1}{15}\)

ĐKXĐ: n>=3

\(A^2_n-C^3_n=10\)

=>\(\dfrac{n!}{\left(n-2\right)!}-\dfrac{n!}{\left(n-3\right)!\cdot3!}=10\)

=>\(n\left(n-1\right)-\dfrac{n\left(n-1\right)\left(n-2\right)}{6}=10\)

=>\(6n\left(n-1\right)-n\left(n-1\right)\left(n-2\right)=60\)

=>\(n\left(n-1\right)\left(6-n+2\right)=60\)

=>\(\left(n^2-n\right)\left(-n+8\right)=60\)

=>\(-n^3+8n^2+n^2-8n-60=0\)

=>\(n^3-9n^2+8n+60=0\)

=>(n-5)(n-6)(n+2)=0

=>\(\left[{}\begin{matrix}n=5\left(nhận\right)\\n=6\left(loại\right)\\n=-2\left(loại\right)\end{matrix}\right.\)

Nhị thức sẽ trở thành là \(\left(x^2-\dfrac{2}{x^3}\right)^5\)

SHTQ là \(C^k_5\cdot\left(x^2\right)^{5-k}\cdot\left(-\dfrac{2}{x^3}\right)^k\)

\(=C^k_5\cdot x^{10-2k}\cdot\dfrac{\left(-2\right)^k}{x^{3k}}\)

\(=C^k_5\cdot\left(-2\right)^k\cdot x^{10-5k}\)

Hệ số của số hạng chứa x⁵ tương ứng với 10-5k=5

=>k=1

=>Hệ số là \(C^1_5\cdot\left(-2\right)^1=5\cdot\left(-2\right)=-10\)

\(A_n^2-C_n^3=10\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{n!}{\left(n-2\right)!}-\dfrac{n!}{3!.\left(n-3\right)!}=10\)

\(\Leftrightarrow n\left(n-1\right)-\dfrac{n\left(n-1\right)\left(n-2\right)}{6}=10\)

\(\Leftrightarrow-n^3+9n^2-8n-60=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}n=-2\left(loại\right)\\n=6\left(loại\right)\\n=5\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left(x^2-\dfrac{2}{x^3}\right)^5=\left(x^2-2.x^{-3}\right)^5\)

SHTQ trong khai triển: 

\(C_5^k.\left(x^2\right)^k.\left(-2.x^{-3}\right)^{5-k}=C_5^k.\left(-2\right)^{5-k}.x^{5k-15}\)

Số hạng chứa \(x^5\) thỏa mãn: \(5k-15=5\)

\(\Rightarrow k=4\)

Hệ số: \(C_5^4.\left(-2\right)^{5-4}=-10\)

a. Sai

Có \(6.7.7.7=6.7^3\) số 

b. Đúng

Gọi số có 4 chữ số dạng \(\overline{abcd}\) \(\Rightarrow\overline{abcd}>3000\Rightarrow a\ge3\)

Chọn a có 4 cách (từ 3,4,5,6)

Bộ bcd có \(A_6^3\) cách chọn và xếp thứ tự

\(\Rightarrow4.A_6^3=480\) số thỏa mãn

c. Sai

Gọi số có 3 chữ số là \(\overline{abc}\)

Do số chẵn nên c chẵn

TH1: \(c=0\Rightarrow\) bộ ab có \(A_6^2\) cách chọn và xếp thứ tự

TH2: \(c\ne0\Rightarrow c\) có 3 cách chọn (từ 2,4,6)

a có 5 cách chọn (khác 0 và c), b có 5 cách chọn (khác a và c)

\(\Rightarrow A_6^2+3.5.5=105\) số

a. Số các số như vậy chỉ có \(6.7^3\) do chữ số đầu tiên phải khác 0 -> Sai

b. Gọi số có 4 chữ số thỏa mãn trên là \(\overline{abcd}\) với \(a\ge3\) và a, b, c, d phân biệt. Khi đó số các số như vậy là \(4.6.5.4=480\) -> Đúng.

c. Gọi số thỏa mãn là \(\overline{abc}\) với a, b, c phân biệt và c chẵn. Khi đó \(c\in\left\{0,2,4,6\right\}\) 

 Xét \(c=0\) thì có \(6.5=30\) số

 Xét \(c\in\left\{2,4,6\right\}\) thì có \(3.5.5=75\) số

Vậy có tất cả \(30+75=105\) số thỏa mãn -> Sai.

Có 7 cách chọn chữ số hàng đơn vị

Có 6 cách chọn chữ số hàng chục

Có 5 cách chọn chữ số hàng trăm

Số số tự nhiên có thể lập được là:

5.6.7 = 210 (số)

Lấy được 4 quả cầu giống nhau khi cả 4 quả đều đỏ, hoặc đều trắng, hoặc đều xanh

Xác suất:

\(P=\dfrac{4}{12}.\dfrac{3}{11}.\dfrac{5}{12}.\dfrac{2}{6}+\dfrac{5}{12}.\dfrac{2}{11}.\dfrac{4}{12}.\dfrac{3}{6}+\dfrac{3}{12}.\dfrac{2}{11}.\dfrac{3}{12}.\dfrac{1}{6}=...\)

Tam giác chỉ có 2 đỉnh A và B thì ko thể xác định được các trung tuyến, nên đề bài thiếu dữ liệu