Cho tam giác nhọn ABC, AB < AC. Gọi D, E, F lần lượt là chân đường cao kẻ từ A, B, C. Gọi P là giao điểm của đường thẳng BC và EF. Đường thẳng qua D song song với EF lần lượt cắt các đường thẳng AB, AC, CF tại Q, R, S. Chứng minh:

1) Tứ giác BQCR nội tiếp.               

2) PB.DC = PC.DB và D là trung điểm của QS.

3) Đường tròn ngoại tiếp tam giác PQR đi qua trung điểm của BC

Cho tam giác ABC . Gọi H là chân đường cao kẻ từ A, biết rằng H nằm trên đoạn thẳng BC và không trùng khớp vói B hoặc C. Đường thẳng AB cắt đường tròn ngoài tiếp tam giác ACH tại D phân biệt với A. Đường thẳng AC cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABH tại E phân biệt với A.

1)    Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB và AC. Chứng minh rằng bốn điểm I, J, D, E cùng nằm trên một đường tròn.

2)    Chứng minh rằng HA là tia phân giác của góc EHD.

3)    Xác định mối liên hệ giữa AB, AC và AH để DE tiếp xúc với cả hai đường tròn nói trên.

Cho đường tròn (O; R) và một điểm S ở ngoài đường tròn (O; R). Từ điểm S kẻ hai tiếp tuyến SA, SB tới (O; R) (A và B là các tiếp điểm). Kẻ dây cung BC song song với SA; SC cắt đường tròn (O; R) tại điểm thứ hai là D; tia BD cắt SA tại điểm M.

    1. Chứng minh MA² = MD.MB

    2. Gọi I là trung điểm đoạn DC. Chứng minh năm điểm S, B, I, O, A cùng thuộc một đường tròn và tia IS là phân giác của góc BIA.

    3. Qua điểm I kẻ đường thẳng song song với AC cắt AB tại E. Chứng  minh ED // BC

    4. Giả sử BM ^ SA, khi đó hãy tính bán kính đường tròn ngoại tiếp DSDA theo R.