Bài 2. Cho a, b, c > 0 thoả ab + bc + ac = 1 . Chứng minh rằng:
(1 + a) ^ 2 * (1 + b) ^ 2 * (1 + c) ^ 2 + (1 - a) ^ 2 * (1 - b) ^ 2 * (1 - c) ^ 2 >= 8sqrt(3) * abc
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Người ra đề cho con số tào lao quá, dẫn tới đẳng thức của BĐT này ko xảy ra. (vế trái lớn hơn vế phải tuyệt đối, thậm chí là hơn rất xa).
Ta có:
\(ab+bc+ca\ge3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}\Rightarrow abc\le\dfrac{1}{3\sqrt{3}}\)
\(\Rightarrow8\sqrt{3}abc\le\dfrac{8}{3}\)
Đặt vế trái BĐT cần chứng minh là P:
\(P=\left[\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)\right]^2+\left[\left(a-1\right)\left(b-1\right)\left(c-1\right)\right]^2\)
\(=\left(abc+a+b+c+ab+bc+ca+1\right)^2+\left(abc+a+b+c-ab-bc-ca-1\right)^2\)
\(=\left(abc+a+b+c+2\right)^2+\left(abc+a+b+c-2\right)^2\)
\(=\left(abc+a+b+c\right)^2+4>\dfrac{8}{3}\ge8\sqrt{3}abc\) (đpcm)
a: Xét ΔAHB vuông tại H có HK là đường cao
nên \(AK\cdot AB=AH^2\left(1\right)\)
Xét ΔAHC vuông tại H có HL là đường cao
nên \(AL\cdot AC=AH^2\left(2\right)\)
Từ (1),(2) suy ra \(AK\cdot AB=AL\cdot AC\)
=>\(\dfrac{AK}{AC}=\dfrac{AL}{AB}\)
Xét ΔAKL và ΔACB có
\(\dfrac{AK}{AC}=\dfrac{AL}{AB}\)
\(\widehat{BAC}\) chung
Do đó: ΔAKL~ΔACB
=>\(\widehat{AKL}=\widehat{ACB}\)
=>\(\widehat{BKL}+\widehat{BCL}=180^0\)
=>BKLC là tứ giác nội tiếp
b.
\(\left\{{}\begin{matrix}BD\perp AC\\CE\perp AB\end{matrix}\right.\) đồng thời H là giao điểm BD, CE
\(\Rightarrow H\) là trực tâm tam giác ABC
\(\Rightarrow AF\) là đường cao thứ 3 \(\Rightarrow\widehat{AFC}=90^0\)
\(\Rightarrow\widehat{FAC}+\widehat{FCA}=180^0-\widehat{AFC}=90^0\) (1)
ADHE nội tiếp đường tròn đường kính AH, mà M là trung điểm AH
\(\Rightarrow M\) là tâm đường tròn đường kính AH
\(\Rightarrow MA=MD\Rightarrow\Delta MAD\) cân tại M
\(\Rightarrow\widehat{FAC}=\widehat{MDA}\) (2)
D, C cùng thuộc (O) \(\Rightarrow OD=OC\Rightarrow\Delta OCD\) cân tại O
\(\Rightarrow\widehat{FCA}=\widehat{ODC}\) (3)
(1);(2);(3) \(\Rightarrow\widehat{MDA}+\widehat{ODC}=90^0\)
\(\Rightarrow\widehat{MDO}=180^0-\left(\widehat{MDA}+\widehat{ODC}\right)=90^0\)
\(\Rightarrow MD\perp OD\)
\(\Rightarrow MD\) là tiếp tuyến tại D của (O)
\(P=2\left(a+b\right)-ab-7+7=2\left(a+b\right)-ab-\left(a^2+b^2+ab\right)+7\)
\(=2\left(a+b\right)-\left(a^2+2ab+b^2\right)+7\)
\(=2\left(a+b\right)-\left(a+b\right)^2+7\)
\(=8-\left(a+b-1\right)^2\le8\)
\(P_{max}=8\) khi \(\left\{{}\begin{matrix}a+b=1\\a^2+b^2+ab=7\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left(a;b\right)=\left(-2;3\right);\left(3;-2\right)\)
a: Thay x=1 và y=1 vào (d), ta được:
\(1\left(m-3\right)-m+4=1\)
=>m-3-m+4=1
=>1=1(luôn đúng)
Vậy: (d) luôn đi qua A(1;1)
b: Phương trình hoành độ giao điểm là:
\(x^2=\left(m-3\right)x-m+4\)
=>\(x^2-\left(m-3\right)x+m-4=0\)(1)
\(\text{Δ}=\left[-\left(m-3\right)\right]^2-4\cdot1\cdot\left(m-4\right)\)
\(=m^2-6m+9-4m+16=m^2-10m+25=\left(m-5\right)^2\)
Để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt thì Δ>0
=>\(\left(m-5\right)^2>0\)
=>\(m-5\ne0\)
=>\(m\ne5\)
Khi m<>5 thì phương trình (1) sẽ có 2 nghiệm phân biệt là:
\(\left[{}\begin{matrix}x=\dfrac{m-3-\sqrt{\left(m-5\right)^2}}{2}=\dfrac{m-3-\left(m-5\right)}{2}=\dfrac{m-3-m+5}{2}=1\\x=\dfrac{m-3+\left(m-5\right)}{2}=\dfrac{2m-8}{2}=m-4\end{matrix}\right.\)
Để x1,x2 là độ dài 2 cạnh của một tam giác vuông cân thì m-4=1
=>m=5(loại)
Gọi số dãy ghế ban đầu là \(x\left(x\inℕ^∗,x\le238\right)\) thì số ghế mỗi dãy là \(\dfrac{238}{x}\) \(\Rightarrow238⋮x\) \(\Rightarrow x\in\left\{1,2,7,14,17,34,119,238\right\}\)
Theo đề bài, ta có:
\(\left(x+3\right)\left(\dfrac{238}{x}-3\right)=238\)
\(\Leftrightarrow238-3x+\dfrac{714}{x}-9=238\)
\(\Leftrightarrow3x-\dfrac{714}{x}+9=0\)
\(\Leftrightarrow x^2+3x-238=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+17\right)\left(x-14\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=-17\left(loại\right)\\x=14\left(nhận\right)\end{matrix}\right.\)
Vậy ban đầu phòng họp được chia làm 14 dãy ghế.
Bạn nên viết đề bằng công thức toán (biểu tượng $\sum$ góc trái khung soạn thảo) để mọi người đọc hiểu đề của bạn hơn nhé.