Ta có $D$ thuộc phân giác của �^A;

$DH\perp AB$; $DK\perp AC$ $\Rightarrow DH=DK$ (tính chất tia phân giác của một góc).

Gọi $G$ là trung điểm của $BC$.

Xét $△BGD$ và $△CGD$, có

���^=���^=90∘BGD=CGD=90∘ ($DG$ là trung trực của $BC$ ),

$BG=CG$ (già thiết),

$DG$ là cạnh chung.

Do đó $△BGD=△CGD$ (hai cạnh góc vuông)

$\Rightarrow BD=CD$ (hai cạnh tương ứng).

Xét $△BHD$ và $△CKD$, có

���^=���^=90∘BHD=CKD=90∘ (giả thiết);

$DH=DK$ (chứng minh trên);

$BD=CD$ (chứng minh trên).

Do đó $△BHD=△CKD$ (cạnh huyền - cạnh góc vuông)

$\Rightarrow BH=CK$ (hai cạnh tương ứng).

Ta có $D$ thuộc phân giác của \widehat{A}A;

$DH\perp AB$; $DK\perp AC$ $\Rightarrow DH=DK$ (tính chất tia phân giác của một góc).

Gọi $G$ là trung điểm của $BC$.

Xét $△BGD$ và $△CGD$, có

\widehat{B G D}=\widehat{C G D}=90^{\circ}BGD=CGD=90∘ ($DG$ là trung trực của $BC$ ),

$BG=CG$ (già thiết),

$DG$ là cạnh chung.

Do đó $△BGD=△CGD$ (hai cạnh góc vuông)

$\Rightarrow BD=CD$ (hai cạnh tương ứng).

Xét $△BHD$ và $△CKD$, có

\widehat{B H D}=\widehat{C K D}=90^{\circ}BHD=CKD=90∘ (giả thiết);

$DH=DK$ (chứng minh trên);

$BD=CD$ (chứng minh trên).

Do đó $△BHD=△CKD$ (cạnh huyền - cạnh góc vuông)

$\Rightarrow BH=CK$ (hai cạnh tương ứng).

Gọi $D$ là giao điểm của $AG$ và $BC\Rightarrow DB=DC$.

Ta có ��=23��BG=32​BE; ��=23��CG=32​CF (tính chất trọng tâm).

Vì $BE=CF$ nên $BG=CG\Rightarrow △BCG$ cân tại $G$

⇒���^=���^⇒GCB=GBC

Xét $△BFC$ và $△CEB$ có $CF=BE$ (giả thiết);

���^=���^GCB=GBC (chứng minh trên);

$BC$ là cạnh chung.

Do đó $△BFC=△CEB$ (c.g.c)

⇒���^=���^⇒FBC=ECB (hai góc tưong ứng)

$\Rightarrow △ABC$ cân tại $A\Rightarrow AB=AC$.

Từ đó suy ra $△ABD=△ACD$ (c.c.c)

⇒���^=���^⇒ADB=ADC. (hai góc tương ứng)

Mà ���^+���^=180∘⇒���^=���^=90∘⇒��⊥��ADB+ADC=180∘⇒ADB=ADC=90∘⇒AD⊥BC hay $AG\perp BC$.

$a)$

$\text{Ta có : BE là đường trung tuyến cạnh AC}$

$\text{và : CF là đường trung tuyến cạnh AB}$

$\Rightarrow AB=AC\Rightarrow \Delta ABC\text{cân tại}A$

$\text{Nối AG}$

$\text{Xét ΔABC có BE và CF là 2 đường trung tuyến cắt nhau tại G}$

$\Rightarrow \text{G là trọng tâm ΔABC}$

$\text{và : AG là đường trung tuyến ứng với cạnh BC}$

$\text{ΔABC cân tại A nên đường trung tuyến AG cũng là đường cao => AG ⊥ BC}$ 

a) Ta có $DM=DG\Rightarrow GM=2GD$.

Ta lại có $G$ là giao điểm của $BD$ và $CE\Rightarrow G$ là trọng tâm của tam giác $ABC$

$\Rightarrow BG=2GD$.

Suy ra $BG=GM$.

Chứng minh tương tự ta được $CG=GN$.

b) Xét tam giác $GMN$ và tam giác $GBC$ có $GM=GB$ (chứng minh trên);

\widehat{MGN}=\widehat{BGC}MGN=BGC (hai góc đối đỉnh);

$GN=GC$ (chứng minh trên).

Do đó $△GMN=△GBC$ (c.g.c)

$\Rightarrow MN=BC$ (hai cạnh tương ứng).

Theo chứng minh trên \triangle GMN=\triangle GBC \Rightarrow \widehat{NMG}=\widehat{CBG}△GMN=△GBC⇒NMG=CBG (hai góc tương ứng).

Mà \widehat{NMG}NMG và \widehat{CBG}CBG ờ vị trí so le trong nên $MN$ // $BC$.

a) Ta có $DM=DG\Rightarrow GM=2GD$.

Ta lại có $G$ là giao điểm của $BD$ và $CE\Rightarrow G$ là trọng tâm của tam giác $ABC$

$\Rightarrow BG=2GD$.

Suy ra $BG=GM$.

Chứng minh tương tự ta được $CG=GN$.

b) Xét tam giác $GMN$ và tam giác $GBC$ có $GM=GB$ (chứng minh trên);

���^=���^MGN=BGC (hai góc đối đỉnh);

$GN=GC$ (chứng minh trên).

Do đó $△GMN=△GBC$ (c.g.c)

$\Rightarrow MN=BC$ (hai cạnh tương ứng).

Theo chứng minh trên △���=△���⇒���^=���^△GMN=△GBC⇒NMG=CBG (hai góc tương ứng).

Mà ���^NMG và ���^CBG ờ vị trí so le trong nên $MN$ // $BC$.

Ta có BF = 2BE (giả thiết). 

=>BE = EF.

Mà BE = 2ED nên EF = 2ED.

Do đó ED = DF.

=>D là trung điểm của EF.

Khi đó CD là đường trung tuyến của ∆CEF.

Vì K là trung điểm CF (giả thiết).

Nên EK cũng là đường trung tuyến của ∆CEF.

∆CEF có hai đường trung tuyến CD và EK cắt nhau tại G.

Khi đó G là trọng tâm của ∆CEF.

Vì G là trọng tâm của ∆CEF nên $\frac{GC}{DC}=\frac{2}{3}$ và $\frac{GK}{GE}=\frac{1}{2}$ (tính chất trọng tâm).

Ta có $\frac{GK}{GE}=\frac{1}{2}$

Suy ra $\frac{GE}{GK}=2$.

Ta có BF = 2BE (giả thiết). 

=>BE = EF.

Mà BE = 2ED nên EF = 2ED.

Do đó ED = DF.

=>D là trung điểm của EF.

Khi đó CD là đường trung tuyến của ∆CEF.

Vì K là trung điểm CF (giả thiết).

Nên EK cũng là đường trung tuyến của ∆CEF.

∆CEF có hai đường trung tuyến CD và EK cắt nhau tại G.

Khi đó G là trọng tâm của ∆CEF.

Vì G là trọng tâm của ∆CEF nên $\frac{GC}{DC}=\frac{2}{3}$ và $\frac{GK}{GE}=\frac{1}{2}$ (tính chất trọng tâm).

Ta có $\frac{GK}{GE}=\frac{1}{2}$

Suy ra $\frac{GE}{GK}=2$.

a) Xét tam giác $ABD$ có $C$ là trung điểm của cạnh $AD\Rightarrow BC$ là trung tuyến của tam giác $ABD$.

Hơn nữa $G\in BC$ và GB=2 GC \Rightarrow GB=\dfrac{2}{3} BC \Rightarrow GGB=2GC⇒GB=32​BC⇒G là trọng tâm tam giác $ABD$.

Lại có $AE$ là đường trung tuyến của tam giác $ABD$ nên $A,G,E$ thẳng hàng.

b) Ta có $G$ là trọng tâm tam giác $ABD\Rightarrow DG$ là đường trung tuyến của tam giác này.

Suy ra $DG$ đi qua trung điểm của cạnh $AB$ (điều phài chứng minh).

a) Xét tam giác $ABD$ có $C$ là trung điểm của cạnh $AD\Rightarrow BC$ là trung tuyến của tam giác $ABD$.

Hơn nữa $G\in BC$ và ��=2��⇒��=23��⇒�GB=2GC⇒GB=32​BC⇒G là trọng tâm tam giác $ABD$.

Lại có $AE$ là đường trung tuyến của tam giác $ABD$ nên $A,G,E$ thẳng hàng.

b) Ta có $G$ là trọng tâm tam giác $ABD\Rightarrow DG$ là đường trung tuyến của tam giác này.

Suy ra $DG$ đi qua trung điểm của cạnh $AB$ (điều phài chứng minh).

a)Ta có:

AB = AC ( tam giác ABC cân tại A )

=> 1/2 AB = 1/2 AC hay AE = AD

Xét ΔABD và ΔACE có:

AB = AC(cmt)

góc A chung

AD = AE (cmt)

=> 2Δ bằng nhau

=> BD=CE

b) BD = CE ( cmt )

=> 2/3 BD = 2/3 CE hay GB = GC

=> ΔGBC cân tại G

c) GD+GE = 1/3CD = 1/3CE

Mà BD = CE (cmt)

=> 1/3 BD + 1/3 CE = 2/3 BD = BG

Gọi F là t/đ BC 

=> BF = 1/2 BC

Xét tg BGF vuông tại F ( do tg ABC cân => AF vuông góc Bc ):

BG>BF(ch>cgv)

=> GD + GE> 1/2BC

$a,$

Do $CE$ là đường trung tuyến (gt)

$\to E$ là trung điểm của $AB$

Do $BD$ là đường trung tuyến (gt)

$\to D$ là trung điểm của $AC$

Có : $AE=\frac{1}{2}AB$ (Do $E$ là trung điểm của $AB$)

Có : $AD=\frac{1}{2}AC$ (Do $D$ là trung điểm của $AC$)

mà $AB=AC$ (Do $\Delta ABC$ cân tại $A$) $\to \frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}AC$

$\to AE=AD$

Xét $\Delta ADB$ và $\Delta AEC$ có :

$AE=AD$ (cmt)

$AB=AC$ (Do $\Delta ABC$ cân tại $A$)

$\hat{A}$ chung

$\to \Delta ADB=\Delta AEC$ (cạnh - góc - cạnh)

$\to BD=CE$ (2 cạnh tương ứng)

và $\widehat{ABD}=\widehat{ACE}$ (2 góc tương ứng)

Có : $\widehat{ABD}+\widehat{GBC}=\widehat{ABC}$

Có : $\widehat{ACE}+\widehat{GCB}=\widehat{ACB}$

mà $\widehat{ABD}=\widehat{ACE}$ (cmt), $\widehat{ABC}=\widehat{ACB}$ (Do $\Delta ABC$ cân tại $A$)

$\to \widehat{GBC}=\widehat{GCB}$

$\to \Delta BGC$ cân tại $G$

Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên:

$GD=\frac{1}{2}GB,GE=\frac{1}{2}GC$

Do đó $GD+GE=\frac{1}{2}BG+\frac{1}{2}CG=\frac{1}{2}\left(BG+CG\right)$.

Mặt khác: BG + CG > BC (bất đẳng thức trong tam giác GCB).

Suy ra $GB+GE>\frac{1}{2}BC$ (điều phải chứng minh).

Lời giải:

Gọi số cán bộ y tế của 3 đội lần lượt là $a,b,c$ (người)

Ta có: $a+b+c=37$

Vì số người tỉ lệ nghịch với số ngày hoàn thành công việc nên:

$5a=4b=6c$

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau:

$5a=4b=6c=\frac{a}{\frac{1}{5}}=\frac{b}{\frac{1}{4}}=\frac{c}{\frac{1}{6}}=\frac{a+b+c}{\frac{1}{5}+\frac{1}{4}+\frac{1}{6}}=\frac{37}{\frac{37}{60}}=60$

$\Rightarrow a=60:5=12; b=60:4=15; c=60:6=10$

Một công nhân hoàn thành công việc đó trong số ngày là:

12 x 16 = 192 ( ngày )

Để hoàn thành công việc đó trong 8 ngày cần số công nhân là:

192 : 8 = 24 ( công nhân )

Số công nhân cần bổ sung thêm là:

24 - 16 = 8 ( người)

Kết luận :...