Cho đường tròn (O) đường kính AB, gọi I là trung điểm của OA. Qua điểm I vẽ dây CD vuông góc với AB, gọi K là trung điểm của BC. a) Chứng minh bốn điểm C; I; O; K cùng thuộc một đường tròn. b) Chứng minh: CI. CD = IA. IB c) Chứng minh ba điểm D, O, K thẳng hàng. 

Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn tâm O (AB<AC). Hai đường cao AD, CE cắt nhau tại D. Vẽ đường kính AK của (O).

a) C/m AB.AC = AD.AK

b) AK cắt CE tại M, CK cắt AD tại F. C/m AEDC nội tiếp và AH.AF = AM.AK

c) Gọi N là hình chiếu của C lên AK. C/m EDNC là hình thang cân.

Cho tam giác ABC nhọn có ba đường cao AD< BE< CF cắt nhau tại H. Từ A dựng các tiếp tuyến AM, AN với đường tròn tâm O đường kính BC (M, N là các tiếp điểm). Gọi K là giao diểm OA và MN.

a) C/m E, F thuộc vào (O) và Oa vuông góc với MN tại K.

b) C/m AK.AO = AE.AC và MN là phân giác góc EKC.

c) C/m M, H, N thẳng hàng.

Tính  GTLN của biểu thức A= \(\sqrt{x+3}-\sqrt{x-5}\)

  GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP HỆ PHƯƠNG TRÌNH 

Một ca nô chạy trên sông trong 7 giờ , xuôi dòng 108 km và ngược dong 63 km . Một lần khác cũng trong 7 giờ ca nô xuôi dòng 81 km và ngược dòng 84 km . Tính vận tốc nước chảy và vận tốc ca nô lúc nước yên lặng .

Cho tam giác ABC nội tiếp (O) (AB<AC).Vẽ đường kính CD và tiếp tuyến DE của (O), cắt AB tại E.EO cắt BC tại F.Chứng minh DF//AC.

Cho hình vuông ABCD, đường tròn (O) nội tiếp hình vuông ABCD tiếp xúc với các cạnh AB,AD lần lượt tại E,F. Gọi G là giao điểm của CE và BF

a/Chứng minh 5 điểm A,F,O,G,E cùng nằm trên một đường tròn

b/Gọi giao điểm của FB và đường tròn (O) là M (M khác F). Chứng minh rằng M là trung điểm của đoạn thẳng BG

c/Chứng minh rằng trực tâm tam giác GAF nằm trên đường tròn (O)

Tìn a,b để 2 đường thẳng (d1): 2ax-by=2 và (d2): bx+4ay=20 cắt nhau tại điểm M(4;2)

Cho a,b,c là các số thực dương . Tìm các giá trị k > 0 thỏa mãn :

\(\frac{a}{c+kb}+\frac{b}{a+kc}+\frac{c}{b+ka}>\frac{1}{2007}\)