a, Xét tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH

Theo định lí Pytago ta có : \(BC^2=AB^2+AC^2\Rightarrow14884=\left(\frac{5}{6}AC\right)^2+AC^2\)

\(\Leftrightarrow14884=\frac{25AC^2}{36}+AC^2=\frac{61}{36}AC^2\Rightarrow AC^2=14884:\frac{61}{36}=8784\Rightarrow AC=12\sqrt{61}\)cm 

\(\Rightarrow AB=\frac{5.12\sqrt{61}}{6}=10\sqrt{61}\)cm 

* Áp dụng hệ thức : \(AB^2=BH.BC\Rightarrow BH=\frac{AB^2}{BC}=50\)cm 

b, Vì BI là đường phân giác => \(\frac{AB}{BC}=\frac{AI}{CI}\Rightarrow\frac{CI}{BC}=\frac{AI}{AB}\)

Theo tc dãy tỉ số bằng nhau \(\frac{CI}{BC}=\frac{AI}{AB}=\frac{AC}{BC+AB}=\frac{12\sqrt{61}}{122+10\sqrt{61}}\)

\(\Rightarrow CI=\frac{12\sqrt{61}}{122+10\sqrt{61}}BC=\frac{1464\sqrt{61}}{122+10\sqrt{61}}\)cm 

\(\Rightarrow IA=\frac{12\sqrt{61}}{122+10\sqrt{61}}AB=\frac{7320}{122+10\sqrt{61}}\)cm 

Theo định lí Pytago tam giác AIB vuông tại A

\(BI^2=AB^2+AI^2\Rightarrow BI=\sqrt{AB^2+AI^2}\)

\(=\sqrt{6100+\left(\frac{7320}{122+10\sqrt{61}}\right)^2}\)cm 

Trước tiên chứng minh:

9(a+b)(b+c)(c+a)≥8(a+b+c)(ab+bc+ca)

(nhân vô rút gọn chuyển hết sang trái được)

⇔a2b+a2c+b2a+b2c+c2a+c2b−6abc≥0

⇔(a2b−2abc+c2b)+(a2c−2abc+b2c)+(b2a−2abc+c2a)≥0

⇔(a√b−c√b)2+(a√c−b√c)2+(b√a−c√a)2≥0(đúng)

Từ đây ta có:

9(a+b)(b+c)(c+a)≥8(a+b+c)(ab+bc+ca)

⇔ab+bc+ca≤9(a+b)(b+c)(c+a)8(a+b+c)=94

(a+b)+(b+c)+(c+a))⇔ab+bc+ca≤9≤94.33√(a+b)(b+c)(c+a)=94.3=34

Vậy ab+bc+ca≤34

1+\(\sqrt{2}\)