Với x >= 0 

\(3x+2-\sqrt{x^2}=3x+2-\left|x\right|=3x+2-x=2x+2\)

\(\sqrt{\left(2x+1\right)^2}-x=2\Leftrightarrow\left|2x+1\right|=x+2\)

ĐK : x >= -2 

TH1 : \(2x+1=x+2\Leftrightarrow x=1\)

TH2 : \(2x+1=-x-2\Leftrightarrow3x=-3\Leftrightarrow x=-1\)

1, \(\sqrt{19+8\sqrt{3}}-\sqrt{28-6\sqrt{3}}+\sqrt{12}\)

\(=\sqrt{4^2+2.4\sqrt{3}+3}-\sqrt{\left(3\sqrt{3}\right)^2-2.3\sqrt{3}+1}+2\sqrt{3}\)

\(=\sqrt{\left(4+\sqrt{3}\right)^2}-\sqrt{\left(3\sqrt{3}-1\right)^2}+2\sqrt{3}\)

\(=4+\sqrt{3}-3\sqrt{3}+1+2\sqrt{3}=5\)

2, \(\left(2+\frac{5-2\sqrt{5}}{2-\sqrt{5}}\right)\left(2+\frac{5+3\sqrt{5}}{3+\sqrt{5}}\right)\)

\(=\left(2+\frac{\sqrt{5}\left(\sqrt{5}-2\right)}{2-\sqrt{5}}\right)\left(2+\frac{\sqrt{5}\left(\sqrt{5}+3\right)}{3+\sqrt{5}}\right)\)

\(=\left(2-\sqrt{5}\right)\left(2+\sqrt{5}\right)=4-5=-1\)

3, \(\sqrt{\frac{5+2\sqrt{6}}{5-2\sqrt{6}}}-\sqrt{\frac{5-2\sqrt{6}}{5+2\sqrt{6}}}+\sqrt{15-6\sqrt{6}}\)

\(=\sqrt{\frac{\left(\sqrt{3}+\sqrt{2}\right)^2}{\left(\sqrt{3}-\sqrt{2}\right)^2}}-\sqrt{\frac{\left(\sqrt{3}-\sqrt{2}\right)^2}{\left(\sqrt{3}+\sqrt{2}\right)^2}}+\sqrt{3^2-2.3\sqrt{6}+6}\)

\(=\frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}-\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}+\sqrt{\left(3-\sqrt{6}\right)^2}\)

\(=5+2\sqrt{6}-\left(5-2\sqrt{6}\right)+3-\sqrt{6}\)

\(=4\sqrt{6}+3-\sqrt{6}=3+3\sqrt{6}\)

Bài 4 : 

a, Xét tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH 

* Áp dụng hệ thức : \(AB^2=BH.BC=16\Rightarrow AB=4\)cm 

Theo định lí Ptago : \(AC=\sqrt{BC^2-AB^2}=\sqrt{64-16}=4\sqrt{3}\)cm 

* Áp dụng hệ thức : \(AH.BC=AB.AC\Rightarrow AH=\frac{AB.AC}{BC}=\frac{16\sqrt{3}}{8}=2\sqrt{3}\)cm 

b, Xét tam giác ABK vuông tại A, đường cao AD 

\(AB^2=BD.BK\)( hệ thức lượng ) (1) 

Xét tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH

\(AB^2=BH.BC\)( hệ thức lượng ) (2) 

Từ (1) ; (2) => \(BD.BK=BH.BC\)(3) 

c, Xét tam giác BHD và tam giác BKC 

^B _ chung 

(3) => \(BD.BK=BH.BC\Rightarrow\frac{BD}{BC}=\frac{BH}{BK}\)

Vậy tam giác BHD ~ tam giác BKC ( c.g.c )

=> \(\frac{S_{BHD}}{S_{BKC}}=\left(\frac{BD}{BC}\right)^2\)(4) 

Ta có : cosABD = \(\frac{DB}{AB}\)

=> cos²ABD = \(\left(\frac{DB}{AB}\right)^2\)=> cos²ABD = \(\frac{DB^2}{AB^2}=\frac{DB^2}{16}\)

=> \(\frac{1}{4}cos^2\widehat{ABD}=\frac{DB^2}{64}=\frac{DB^2}{8^2}=\frac{DB^2}{BC^2}=\left(\frac{DB}{BC}\right)^2\)

\(\Rightarrow\frac{1}{4}cos^2\widehat{ABD}=\frac{S_{BHD}}{S_{BKC}}\)theo (4) 

=> \(S_{BHD}=S_{BKC}.\frac{1}{4}cos^2\widehat{ABD}\)

Bài 3 : 

a, Với \(x>0;x\ne1\)

\(A=\left(\frac{1}{x+2\sqrt{x}}-\frac{1}{\sqrt{x}+2}\right):\frac{1-\sqrt{x}}{x+4\sqrt{x}+4}\)

\(=\left(\frac{1-\sqrt{x}}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+2\right)}\right):\frac{1-\sqrt{x}}{\left(\sqrt{x}+2\right)^2}=\frac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}}\)

b, Ta có : \(A=\frac{5}{3}\Rightarrow\frac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}}=\frac{5}{3}\Rightarrow3\sqrt{x}+6=5\sqrt{x}\Leftrightarrow6=2\sqrt{x}\Leftrightarrow x=9\)

Để \(\frac{\sqrt{x-1}}{\sqrt{x+3}}\)    có nghĩa 

=> \(\hept{\begin{cases}x-1\ge0\\x+3\ge0\end{cases}}\)

=> \(\hept{\begin{cases}x\ge1\\x\ge-3\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\)\(x\ge1\)

\(\frac{1}{\sqrt{1}}=1,\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{4}}>\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}>1,\frac{1}{\sqrt{5}}+\frac{1}{\sqrt{6}}+\frac{1}{\sqrt{7}}+\frac{1}{\sqrt{8}}+\frac{1}{\sqrt{9}}>1,...\)

tương tự ta sẽ có :

\(\frac{1}{\sqrt{1}}+\frac{1}{\sqrt{2}}+..+\frac{1}{\sqrt{100}}>10\)

b. đặt : \(B=\sqrt{4+\sqrt{4+..+\sqrt{4}}}\Leftrightarrow B^2=4+\sqrt{4+\sqrt{4+..+\sqrt{4}}}=4+B\)

\(\Leftrightarrow B=\frac{1+\sqrt{17}}{2}< 3\)

mng giúp em với ạ hic

để phương trình có nghĩa

\(\Leftrightarrow\sqrt{x+3}>0\)

\(\Leftrightarrow x+3>0\)

\(\Leftrightarrow x>-3\)

học tốt , xin tiick

Ta có 

\(\frac{5}{\sqrt{x+3}}\ge0\forall x\inℝ\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}5\ge0\\\sqrt{x+3}\ge0\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\sqrt{x+3}>0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+3\right)>0\)

\(\Leftrightarrow x>-3\)

Vậy phân thức có nghĩa khi \(x>-3\)