a)Ta có:

AB = AC ( tam giác ABC cân tại A )

=> 1/2 AB = 1/2 AC hay AE = AD

Xét ΔABD và ΔACE có:

AB = AC(cmt)

góc A chung

AD = AE (cmt)

=> 2Δ bằng nhau

=> BD=CE

b) BD = CE ( cmt )

=> 2/3 BD = 2/3 CE hay GB = GC

=> ΔGBC cân tại G

c) GD+GE = 1/3CD = 1/3CE

Mà BD = CE (cmt)

=> 1/3 BD + 1/3 CE = 2/3 BD = BG

Gọi F là t/đ BC 

=> BF = 1/2 BC

Xét tg BGF vuông tại F ( do tg ABC cân => AF vuông góc Bc ):

BG>BF(ch>cgv)

=> GD + GE> 1/2BC

$a,$

Do $CE$ là đường trung tuyến (gt)

$\to E$ là trung điểm của $AB$

Do $BD$ là đường trung tuyến (gt)

$\to D$ là trung điểm của $AC$

Có : $AE=\frac{1}{2}AB$ (Do $E$ là trung điểm của $AB$)

Có : $AD=\frac{1}{2}AC$ (Do $D$ là trung điểm của $AC$)

mà $AB=AC$ (Do $\Delta ABC$ cân tại $A$) $\to \frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}AC$

$\to AE=AD$

Xét $\Delta ADB$ và $\Delta AEC$ có :

$AE=AD$ (cmt)

$AB=AC$ (Do $\Delta ABC$ cân tại $A$)

$\hat{A}$ chung

$\to \Delta ADB=\Delta AEC$ (cạnh - góc - cạnh)

$\to BD=CE$ (2 cạnh tương ứng)

và $\widehat{ABD}=\widehat{ACE}$ (2 góc tương ứng)

Có : $\widehat{ABD}+\widehat{GBC}=\widehat{ABC}$

Có : $\widehat{ACE}+\widehat{GCB}=\widehat{ACB}$

mà $\widehat{ABD}=\widehat{ACE}$ (cmt), $\widehat{ABC}=\widehat{ACB}$ (Do $\Delta ABC$ cân tại $A$)

$\to \widehat{GBC}=\widehat{GCB}$

$\to \Delta BGC$ cân tại $G$

Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên:

$GD=\frac{1}{2}GB,GE=\frac{1}{2}GC$

Do đó $GD+GE=\frac{1}{2}BG+\frac{1}{2}CG=\frac{1}{2}\left(BG+CG\right)$.

Mặt khác: BG + CG > BC (bất đẳng thức trong tam giác GCB).

Suy ra $GB+GE>\frac{1}{2}BC$ (điều phải chứng minh).

Lời giải:

Gọi số cán bộ y tế của 3 đội lần lượt là $a,b,c$ (người)

Ta có: $a+b+c=37$

Vì số người tỉ lệ nghịch với số ngày hoàn thành công việc nên:

$5a=4b=6c$

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau:

$5a=4b=6c=\frac{a}{\frac{1}{5}}=\frac{b}{\frac{1}{4}}=\frac{c}{\frac{1}{6}}=\frac{a+b+c}{\frac{1}{5}+\frac{1}{4}+\frac{1}{6}}=\frac{37}{\frac{37}{60}}=60$

$\Rightarrow a=60:5=12; b=60:4=15; c=60:6=10$

Một công nhân hoàn thành công việc đó trong số ngày là:

12 x 16 = 192 ( ngày )

Để hoàn thành công việc đó trong 8 ngày cần số công nhân là:

192 : 8 = 24 ( công nhân )

Số công nhân cần bổ sung thêm là:

24 - 16 = 8 ( người)

Kết luận :... 

a, Xét tam giác ADB và tam giác AEC có :

AE = AD ( gt )

\(\widehat{A}\) chung

AB = AC ( gt )

=> \(\Delta ADB=\Delta AEC\left(c-g-c\right)\)

b, Do \(\Delta ADB=\Delta AEC\) ( câu a, )

=> \(\widehat{ABD}=\widehat{ACE}\) ( 2 góc tương ứng )

BD nằm giữa 2 tia EB và EC 

=> \(\widehat{EBD}+\widehat{CBD}=\widehat{B}\)

\(\Rightarrow\widehat{CBD}=\widehat{B}-\widehat{EBD}\) ( 1 )

CE nằm giữa 2 tia CD và CB 

\(\Rightarrow\widehat{BCE}+\widehat{DCE}=\widehat{C}\)

\(\Rightarrow\widehat{BCE}=\widehat{C}-\widehat{DCE}\) ( 2 )

Từ ( 1 ) và ( 2 ) 

=> \(\widehat{CBD}=\widehat{BCE}\) hay \(\widehat{IBC}=\widehat{ICB}\)

Xét tam giác IBC có 

\(\widehat{IBC}=\widehat{ICB}\)

=> tam giác IBC cân tại I

c, Xét tam giác AED có :

AE = AD ( gt )

=> Tam giác AED cân tại A

=> \(\widehat{AED}=\dfrac{180^0-\widehat{A}}{2}\)( 3 )

Tam giác ABC cân tại A 

=> \(\widehat{B}=\dfrac{180^0-\widehat{A}}{2}\) ( 4 )

Từ ( 3 ) , ( 4) => \(\widehat{AED}=\widehat{B}\)

Đường thẳng AB bị 2 đường thẳng ED và BC cắt tạo thành cặp góc đồng vị bằng nhau \(\widehat{AED}=\widehat{B}\)

=> ED // BC ( đpcm)

Sửa đề bài \(\dfrac{x}{3}=\dfrac{y}{6}\)

Đặt \(\dfrac{x}{3}=\dfrac{y}{6}=k\)

x = 3k , y = 6k

\(xy=3k.6k=18k^2=62\)

\(\Leftrightarrow k^2=\dfrac{31}{9}\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}k=\sqrt{\dfrac{31}{9}}\\k=-\sqrt{\dfrac{31}{9}}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}k=\dfrac{\sqrt{31}}{3}\\k=-\dfrac{\sqrt{31}}{3}\end{matrix}\right.\)

TH1 : \(k=\dfrac{\sqrt{31}}{3}\)

x = 3k = \(3.\dfrac{\sqrt{31}}{3}=\sqrt{31}\)

y = 6k = \(6.\dfrac{\sqrt{31}}{3}=2\sqrt{31}\)

TH2 : \(k=-\dfrac{\sqrt{31}}{3}\)

x = 3k = \(3.-\dfrac{\sqrt{31}}{3}=-\sqrt{31}\)

y = 6k = \(6.-\dfrac{\sqrt{31}}{3}=-2\sqrt{31}\)

Vậy các cặp {x,y }là { \(\sqrt{31}\);\(2\sqrt{31}\)} ; { \(-\sqrt{31}\); \(-2\sqrt{31}\)}

Gọi số tờ giấy bạc của 4 gói : 1000 đ , 2000 đ , 5000đ , 10 000 đ là x,y,z,t ( \(x,y,z\in\) N^* ) 

Theo đề bài ta có :

1000x = 2000y = 5000z = 10 000t

\(\Rightarrow\dfrac{1000x}{10000}=\dfrac{2000y}{10000}=\dfrac{5000z}{10000}=\dfrac{10000t}{10000}\)

\(=>\dfrac{x}{10}=\dfrac{y}{5}=\dfrac{z}{2}=\dfrac{t}{1}\) và \(x+y+z+t=900\)

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có :

\(\dfrac{x}{10}=\dfrac{y}{5}=\dfrac{z}{2}=\dfrac{t}{1}=\dfrac{x+y+z+t}{10+5+2+1}=\dfrac{900}{18}=50\)

\(\dfrac{x}{10}=50=>x=500\)

\(\dfrac{y}{5}=50=>y=250\)

\(\dfrac{z}{2}=50=>z=100\)

\(t=50\)

Vậy số tờ giấy bạc của 4 loại 1000 đ , 2000đ , 5000đ , 10000 đ lần lượt là 500 , 250 , 100 , 50 ( tờ )

theo đề bài ta có :

a và b tỉ lệ nghịch với 3 và 2 

=> 3a = 2b \(\Rightarrow\dfrac{a}{2}=\dfrac{b}{3}\Rightarrow\dfrac{a}{4}=\dfrac{b}{6}\) ( 1 )

b và c tỉ lệ nghịch với 3 và 2 

=> 3b = 2c => \(\dfrac{b}{2}=\dfrac{c}{3}\Rightarrow\dfrac{b}{6}=\dfrac{c}{9}\)  ( 2 )

Từ ( 1 ), ( 2 ) => \(\dfrac{a}{4}=\dfrac{b}{6}=\dfrac{c}{9}\Rightarrow\dfrac{2a}{8}=\dfrac{3b}{18}=\dfrac{4c}{36}\)  và 2a + 3b - 4c = 100

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có :

\(\dfrac{2a}{8}=\dfrac{3b}{18}=\dfrac{4c}{36}=\dfrac{2a+3b-4c}{8+18-36}=\dfrac{100}{-10}=-10\)

\(\dfrac{a}{4}=-10\Rightarrow a=-40\)

\(\dfrac{b}{6}=-10\Rightarrow b=-60\)

\(\dfrac{c}{9}=-10=>c=-90\)

Vậy 3 số a,b,c lần lượt là -40 ; -60 ; -90