a,

Áp dụng BĐT Cô Si ta có :

\(a+b+c\ge3\sqrt[3]{abc}=6\)

Ta có BĐT \(a^2+b^2+c^2\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}\)( Dễ dàng chứng minh bằng biến đổi tương đương hoặc BĐT Bunhiacopxki )

Vậy \(a^2+b^2+c^2\ge\frac{a+b+c}{3}.\left(a+b+c\right)\ge\frac{6}{3}\left(a+b+c\right)=2\left(a+b+c\right)\)

b, 

\(a^3+a^3+8\ge3\sqrt[3]{8.a^3.a^3}=6a^2\)hay \(2a^3+8\ge6a^2\)

Tương tự ta có : \(2b^3+8\ge6b^2\)

\(2c^3+8\ge6c^2\)

Cộng các vế ta có :

\(2\left(a^3+b^3+c^3\right)+24\ge6\left(a^2+b^2+c^2\right)\)

\(a^3+b^3+c^3\ge3\left(a^2+b^2+c^2\right)-12\)

Lại có : \(a^2+b^2+c^2\ge2\left(a+b+c\right)\ge6\sqrt[3]{a.b.c}=12\)

Vậy \(a^3+b^3+c^3\ge3\left(a^2+b^2+c^2\right)-\left(a^2+b^2+c^2\right)=2\left(a^2+b^2+c^2\right)\)

 cho xin 1 t

Gọi H là trung điểm AB 

=> OH là đường cao hay OH vuông AB tại H

Vì H là trung điểm AB => AH = HB = 16/2 = 8 cm

Lại có OA = OB = R = 10 cm 

Xét tam giác AOH vuông tại H

\(OH=\sqrt{AO^2-AH^2}=\sqrt{100-64}=6\)cm 

hay khoảng cách từ O đến AB bằng 6 cm 

a) \(5xy.\sqrt{\frac{25x^2}{y^6}}\left(x< 0;y>0\right)\)

\(=5xy.\frac{-5x}{y^3}\)

\(=\)\(-\frac{25x^2}{y^2}\)

b)\(2y^2.\sqrt{\frac{x^4}{4y^2}}\left(y< 0\right)\)

\(=\)\(2y^2.\frac{-x^2}{2y}\)

\(=-x^2y\)

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng Engel :

\(\text{∑}\frac{a}{b+c}=\text{∑}\frac{a^2}{ab+bc}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(ab+bc+ca\right)}\)(1)

Bạn chứng minh bđt \(\left(a+b+c\right)^2\ge3\left(ab+bc+ca\right)\)(2)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow\text{∑}\frac{a}{b+c}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(ab+bc+ca\right)}\ge\frac{3\left(ab+bc+ca\right)}{2\left(ab+bc+ca\right)}=\frac{3}{2}\left(đpcm\right)\)

Dấu "=" xảy ra <=> a = b = c 

biết chết liền

\(x+\frac{1}{x}\ge2\sqrt{x.\frac{1}{x}}=2\)

dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(x=1\)

\(MIN=2\)