Với \(a,b,c\ge0.\)Áp dụng BĐT Cô-si cho các cặp số (a,b);(b,c),(a,c).

Ta được: \(a+b\ge2\sqrt{ab},2\left(b+c\right)\ge2.2\sqrt{bc},3\left(a+c\right)\ge3.2\sqrt{ac}\)

Cộng vế với vế ta được đpcm 

Dấu "=" xảy ra <=> a=b=c=0

Ta có:\(4a+3b+5c\ge2\left(\sqrt{ab}+2\sqrt{bc}+3\sqrt{ca}\right)\)

\(\Leftrightarrow4a+3b+5c-2\sqrt{ab}-4\sqrt{bc}-6\sqrt{ac}\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-2\sqrt{ab}+b\right)+\left(3a-6\sqrt{ac}+3c\right)+\left(2b-4\sqrt{bc}+2c\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2+3\left(\sqrt{a}-\sqrt{c}\right)^2+2\left(\sqrt{b}-\sqrt{c}\right)^2\ge0\)

Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c\)

\(\left(4\sqrt{2}-3\sqrt{3}+1\right):\sqrt{6}\)

\(=\frac{4\sqrt{2}}{\sqrt{6}}-\frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{6}}+\frac{1}{\sqrt{6}}\)

\(=\frac{4\sqrt{3}}{3}-\frac{3\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{6}}{6}\)

\(=\frac{8\sqrt{3}-9\sqrt{2}+\sqrt{6}}{6}\)

Gọi x,y là kích thước của hình chữ nhật (x,y>0)

ta có: x²+y²=d²(đl pytago)

Từ (x-y)²>= 0 suy ra x²-2xy+y²>=0 suy ra x²+y²>= 2xy

Ta có xy<= d²/2, không đổi.

dấu ''='' xảy ra <=> x=y

suy ra ABCD là hình vuông

Vậy trong tất cả các hình chữ nhật có chiều dài đường chéo d không đổi thì hình vuông có diện tích lớn nhất và bằng \(\frac{8\sqrt{2}}{2}=4\sqrt{2}\)

a, sinC = \(\frac{AB}{BC}\); tanC = \(\frac{AB}{AC}\)

cosC = \(\frac{AC}{BC}\); cotC = \(\frac{AC}{AB}\)

b, Xét tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH

tanB = \(\frac{AC}{AB}=\sqrt{2}\Rightarrow AC=\sqrt{2}AB\)

* Áp dụng hệ thức : \(\frac{1}{AH^2}=\frac{1}{AB^2}+\frac{1}{AC^2}\Rightarrow\frac{1}{12}=\frac{1}{AB^2}+\frac{1}{2AB^2}\Rightarrow AB\approx4,24\)cm 

\(\Rightarrow AC\approx4,24\sqrt{2}\)cm

Theo định lí Pytago tam giác ABC vuông tại A

\(BC=\sqrt{AB^2+AC^2}\approx\sqrt{4,24^2+\left(4,24\sqrt{2}\right)^2}\approx7,34\)cm