Chứng minh PT sau không có nghiệm nguyên:
\(x^4+y^4+z^4=1000\)
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Cách 1 . \(A=\left(\frac{a-b}{c}+\frac{b-c}{a}+\frac{c-a}{b}\right)\left(\frac{c}{a-b}+\frac{a}{b-c}+\frac{b}{c-a}\right)\)
Đặt \(\frac{a-b}{c}=x\); \(\frac{b-c}{a}=y\) ; \(\frac{c-a}{b}=z\)
Ta có : \(\frac{x+y}{z}=\frac{\frac{a-b}{c}+\frac{b-c}{a}}{\frac{c-a}{b}}=\frac{ab\left(a-b\right)+cb\left(b-c\right)}{ac\left(c-a\right)}=\frac{b\left(b-a-c\right)}{ac}=\frac{2b^2}{ac}=\frac{2b^3}{abc}\)
tương tự : \(\frac{y+z}{x}=\frac{2c^3}{abc}\); \(\frac{x+z}{y}=\frac{2a^3}{abc}\)
\(\Rightarrow A=\left(x+y+z\right)\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)=1+\frac{x}{y}+\frac{x}{z}+\frac{y}{x}+1+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}+\frac{z}{y}+1\)
\(=3+\frac{x+z}{y}+\frac{x+y}{z}+\frac{y+z}{x}=3+\frac{2}{abc}\left(a^3+b^3+c^3\right)\)
Áp dụng bài toán phụ : Nếu a + b + c = 0 thì \(a^3+b^3+c^3=3abc\) (có thể chứng minh bằng cách rút a = - b - c rồi thay vào tổng ba lập phương) được :
\(A=3+\frac{2}{abc}.3abc=3+6=9\)
Đặt \(\frac{a-b}{c}=x=>\frac{c}{a-b}=\frac{1}{x}\)
\(\frac{b-c}{a}=y=>\frac{a}{b-c}=y\)
\(\frac{c-a}{b}=z=>\frac{b}{c-a}=\frac{1}{z}\)
=>\(A=\left(x+y+z\right).\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\)
=>\(A=x.\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)+y.\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)+z.\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\)
=>\(A=1+\frac{x}{y}+\frac{x}{z}+1+\frac{y}{x}+\frac{y}{z}+1+\frac{z}{x}+\frac{z}{y}\)
=>\(A=3+\left(\frac{x}{y}+\frac{x}{z}+\frac{y}{x}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}+\frac{z}{y}\right)\)
=>\(A=3+\frac{x+z}{y}+\frac{x+y}{z}+\frac{y+z}{x}\)
Lại có: \(\frac{x+z}{y}=\frac{\frac{a-b}{c}+\frac{c-a}{b}}{\frac{b-c}{a}}=\frac{\frac{ab-b^2}{bc}+\frac{c^2-ac}{bc}}{\frac{b-c}{a}}=\frac{\frac{ab-b^2+c^2-ac}{bc}}{\frac{b-c}{a}}\)
\(=\frac{\frac{\left(ab-ac\right)-\left(b^2-c^2\right)}{bc}}{\frac{b-c}{a}}=\frac{\frac{a.\left(b-c\right)-\left(b+c\right).\left(b-c\right)}{bc}}{\frac{b-c}{a}}=\frac{\frac{\left(a-b-c\right).\left(b-c\right)}{bc}}{\frac{b-c}{a}}\)
\(=\frac{\left(a-b-c\right).\left(b-c\right).a}{\left(b-c\right).bc}=\frac{\left(a-b-c\right).a}{bc}=\frac{\left(a+a-a-b-c\right).a}{bc}\)
\(=\frac{\left[2a-\left(a+b+c\right)\right].a}{bc}\)
Vì a+b+c=0
=>\(\frac{x+z}{y}=\frac{\left(2a-0\right).a}{bc}=\frac{2a^2}{bc}=\frac{2a^3}{abc}\)
Chứng minh tương tự, ta có:
\(\frac{x+y}{z}=\frac{2b^3}{abc}\)
\(\frac{y+z}{x}=\frac{2c^3}{abc}\)
=>\(A=3+\frac{x+z}{y}+\frac{x+y}{z}+\frac{y+z}{x}=3+\frac{3a^3}{abc}+\frac{3b^3}{abc}+\frac{3c^3}{abc}\)
=>\(A=3+\frac{2a^3+2b^3+2c^3}{abc}\)
=>\(A=3+\frac{2.\left(a^3+b^3+c^3\right)}{abc}\)
Vì a+b+c=0
=>a=-(b+c)
=>\(a^3=\left[-\left(b+c\right)\right]^3\)
=>\(a^3=-\left(b+c\right)^3\)
=>\(a^3=-\left[b^3+3bc.\left(b+c\right)+c^3\right]\)
=>\(a^3=-b^3-3bc.\left(b+c\right)-c^3\)
=>\(a^3+b^3+c^3=-3bc.\left(b+c\right)\)
Vì a+b+c=0=>b+c=-a
=>\(a^3+b^3+c^3=-3bc.\left(-a\right)\)
=>\(a^3+b^3+c^3=3abc\)
Thay vào A, ta có:
\(A=3+\frac{2.\left(a^3+b^3+c^3\right)}{abc}=3+\frac{2.3abc}{abc}=3+\frac{6.abc}{abc}=3+6=9\)
=>A=9
Vậy A=9
\(a^3+b^3+c^3=3abc\)\(\Leftrightarrow\)\(a^3+b^3+c^3-3abc=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^3-3ab\left(a+b\right)+c^3-3abc=0\)
\(\Leftrightarrow\)\(\left[\left(a+b\right)^3+c^3\right]-\left[3ab\left(a+b\right)+3abc\right]=0\)\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2+2ab-ac-bc\right)-3ab\left(a+b+c\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(a+b+c\right)\left[\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\right]}{2}=0\)
Vì a,b,c > 0 nên a+b+c > 0
Do đó : \(\hept{\begin{cases}\left(a-b\right)^2=0\\\left(b-c\right)^2=0\\\left(c-a\right)^2=0\end{cases}\Rightarrow}a=b=c\)
1) có: a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = 0
((a + b)3 + c^3( - 3ab(a + b) - 3abc = 0
<=>(a + b + c)((a + b)2 - (a + b).c + c2( - 3ab(a + b + c) = 0
<=>(a + b + c) (a2 + b2 + c2- ac - bc - ab( = 0
Từ đây cho nhận xét:
+ Nếu a + b + c = 0 có a3 + b3 + c3 = 3abc (I)
a + b + c = 0
+ Nếu a^3 + b^3 + c^3 = 3abc thì
a = b = c
A = 232 + ( 223 + 223-224) + (218 - 217 - 217) + ( 29 + 29 - 210) + 1
= 223 + 1
Ta có: |x + 1| = |x - 1|
<=> x + 1 = x - 1
=> x + x =1 - 1
=> 2x = 0
=> x =0
Dễ thui Ta có: 2 = 2 mà đây là tổng
=> đẳng thức trên lớn hơn 2
Bừa hìhif
mk giải cách lớp 7:
A(x) = x4 + 2x2 + 1
vì \(x^4\ge0\) với mọi x
\(2x^2\ge0\) với mọi x
=> \(x^4+2x^2+1\ge1>0\)
=> đa thức A(x) ko có nghiệm
cách lớp 8. bạn đặt ẩn phụ la x2. đưa nó về bậc 2. rồi dùng đen ta là ra: nó sẽ ra đen ta <0 thì đa thức trên vô nghiêm. dễ mà. mà bạn biết đen ta rồi chứ. Đen ta = b2-4ac. hoac đen ta phẩy= b2-ac. 100% là ra
Gọi 2 số đó lần lượt là a và b
Theo đề bài ta có:
\(\frac{a}{b}=\frac{3}{5}\); \(\frac{a}{7}=\frac{b}{5}-4\) \(\left(a,b,\frac{a}{7},\frac{b}{5}\in Z;a,b>0\right)\)
\(\frac{a}{b}=\frac{3}{5}\Leftrightarrow\frac{a}{3}=\frac{b}{5}\)
Thay \(\frac{a}{3}=\frac{b}{5}\) ta có :
\(\frac{a}{7}=\frac{a}{3}-4\Leftrightarrow\frac{a}{7}=\frac{a-12}{3}\)
\(\Leftrightarrow3a=7a-84\)\(\Leftrightarrow4a-84=0\)
\(\Leftrightarrow-4a=-84\)
\(\Leftrightarrow a=21\)
\(\frac{a}{3}=\frac{b}{5}\Leftrightarrow b=\frac{5a}{3}\Leftrightarrow b=\frac{5.21}{3}=35\)
Vậy \(a=21;b=35\)
3x - 4y = 10
=> 3x = 10 + 4y => x = (10 + 4y) /3
thay vào A:
\(A=\left(\frac{10+4y}{3}\right)^2+y^2=\frac{100+80y+16y^2}{9}+y^2=\frac{100+80y+25y^2}{9}=\frac{\left(5y+8\right)^2}{9}+4\)
có: \(\frac{\left(5y+8\right)^2}{9}\ge0\Rightarrow\)\(A=\frac{\left(5y+8\right)^2}{9}+4\ge4\)
vậy giá trị nhỏ nhất của A là 4
\(\text{Ta thấy}:\)1000=2*500=50*20=200*5=10*100=1000*1
=>1000 chia hết mấy cái số phân tích trên.
=>x4+y4+z4 lẻ ko chia hết 2
Mà 1000 chia hết 2 (vô nghiệm)
=>x4+y4+z4 lẻ ko chia hết 2
Mà 1000 chia hết 2 (vô nghiệm)
=>x4+y4+z4 chẵn chia hết 2
Mà chia hết 2 thì fai chia hết 500;50 hoặc 5 (vô nghiệm)
Xét các trường hợp tương tự ta đều đc x;y;z vô nghiệm
=>Đpcm
Ta thấy:1000=2*500=50*20=200*5=10*100=1000*1
=>1000 chia hết mấy cái số phân tích trên.
=>x4+y4+z4 lẻ ko chia hết 2
Mà 1000 chia hết 2 (vô nghiệm)
=>x4+y4+z4 lẻ ko chia hết 2
Mà 1000 chia hết 2 (vô nghiệm)
=>x4+y4+z4 chẵn chia hết 2
Mà chia hết 2 thì fai chia hết 500;50 hoặc 5 (vô nghiệm)
Xét các trường hợp tương tự ta đều đc x;y;z vô nghiệm
=>Đpcm