\(P=\left(\frac{\sqrt{x}}{3+\sqrt{x}}+\frac{2x}{9-x}\right)\div\left(\frac{\sqrt{x}-1}{x-3\sqrt{x}}-\frac{2}{\sqrt{x}}\right)\)     (\(x>0,x\ne9,x\ne25\))

\(=\left[\frac{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-3\right)}{\left(\sqrt{x}-3\right)\left(\sqrt{x}+3\right)}-\frac{2x}{\left(\sqrt{x}-3\right)\left(\sqrt{x}+3\right)}\right]\div\left[\frac{\sqrt{x}-1}{x-3\sqrt{x}}-\frac{2\left(\sqrt{x}-3\right)}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-3\right)}\right]\)

\(=\frac{x-3\sqrt{x}-2x}{\left(\sqrt{x}-3\right)\left(\sqrt{x}+3\right)}\div\frac{\sqrt{x}-1-2\sqrt{x}+6}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-3\right)}\)

\(=\frac{-\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+3\right)}{\left(\sqrt{x}-3\right)\left(\sqrt{x}+3\right)}.\frac{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-3\right)}{-\sqrt{x}+5}\)

\(=\frac{-x}{5-\sqrt{x}}\)

\(A=\frac{x+2}{x-\sqrt{x}-2}-\frac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1}+\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}-2}\)

\(=\frac{x+2}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}-\frac{2\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-2\right)}{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}+\frac{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}\)

\(=\frac{x+2-2x+4\sqrt{x}+x-1}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}\)

\(=\frac{4\sqrt{x}+1}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}\)

\(B=\frac{1}{\sqrt{x}-2}\)

Khi \(x=25\): \(B=\frac{1}{\sqrt{25}-2}=\frac{1}{5-2}=\frac{1}{3}\)

\(P=A\div B=\frac{4\sqrt{x}+1}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}\div\frac{1}{\sqrt{x}-2}=\frac{4\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}+1}\)

\(P^2=P+2\Leftrightarrow P^2-P-2=0\Leftrightarrow\left(P-2\right)\left(P+1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}P=2\\P=-1\end{cases}}\)

- \(P=2\): \(\frac{4\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}+1}=2\Leftrightarrow4\sqrt{x}+1=2\sqrt{x}+2\Leftrightarrow x=\frac{1}{4}\)(tm) 

- \(P=-1\): \(\frac{4\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}+1}=-1\Leftrightarrow4\sqrt{x}+1=-\sqrt{x}-1\Leftrightarrow\sqrt{x}=-\frac{2}{5}\)(vô nghiệm) 

Tham khảo

Vào những năm 1760, Johann Heinrich Lambert đã chứng minh rằng số π (pi) là vô tỷ: nghĩa là nó không thể được biểu thị dưới dạng phân số a/b, trong đó a là số nguyên và b là số nguyên khác không. Vào thế kỷ 19, Charles Hermite đã tìm thấy một chứng minh không đòi hỏi kiến thức tiên quyết nào ngoài vi tích phân cơ bản.

#zinc

có ạ

================

Ta có (ab + bc + ca)² = (ab)² + (bc²) + (ca)² + 2abc(a + b + c)

Lại có : x² +y² + z² \(\ge\)xy + yz + xz

Thật vậy  x² +y² + z² \(\ge\)xy + yz + xz

<=> 2(x² +y² + z²) \(\ge\)2(xy + yz + xz)

<=> (x² - 2xy + y²) + (y² - 2yz + z²) + (z² - 2zx + x²) \(\ge0\)

<=> (x - y)² + (z - x)² + (y - z)² \(\ge0\) (đúng) => ĐPCM

Áp dụng bài toán => (ab)² + (bc)² + (ca)² \(\ge\)ab.bc + ac.bc + ab.ac = abc(a + b + c) 

Khi đó (ab + bc + ca)² = (ab)² + (bc²) + (ca)² + 2abc(a + b + c) \(\ge\)abc(a + b + c) + 2abc(a + b + c) = 3abc(a + b + c) (đpcm) 

Bạn vào thống kê hỏi đáp của mình xem nhé.

Lời giải:
a. $\Delta'=m^2-(m^2-2)=2>0$ nên pt luôn có 2 nghiệm pb với mọi $m\in\mathbb{R}$

Áp dụng định lý Viet:

$x_1+x_2=-m$

$x_1x_2=\frac{m^2-2}{2}$

$\Rightarrow (x_1+x_2)^2=m^2=2x_1x_2+2$

$\Leftrightarrow (x_1+x_2)^2-2x_1x_2=2$

$\Leftrightarrow x_1^2+x_2^2=2$ 

Đây chính là hệ thức liên hệ giữa $x_1,x_2$ không phụ thuộc $m$

b.

\(A=\frac{2x_1x_2+3}{2+2x_1x_2+1}=\frac{2x_1x_2+3}{2x_1x_2+3}=1\) nên không có có min, max.

1) Hình như đề bị sai rồi bạn.

Thông thường pt đã cho sẽ là \(\frac{2x}{x-2}-\frac{5}{x-3}=\frac{5}{x^2-5x+6}\)

Ta thấy \(x^2-5x+6=x^2-2x-3x+6=x\left(x-2\right)-3\left(x-2\right)=\left(x-2\right)\left(x-3\right)\)

Nên ĐKXĐ là \(\hept{\begin{cases}x\ne2\\x\ne3\end{cases}}\)

pt đã cho \(\Leftrightarrow\frac{2x\left(x-3\right)}{\left(x-2\right)\left(x-3\right)}-\frac{5\left(x-2\right)}{\left(x-2\right)\left(x-3\right)}=\frac{5}{\left(x-2\right)\left(x-3\right)}\)

\(\Leftrightarrow\frac{2x^2-6x-5x+10}{\left(x-2\right)\left(x-3\right)}=\frac{5}{\left(x-2\right)\left(x-3\right)}\)\(\Rightarrow2x^2-11x+5=0\)(*)

Ta có \(\Delta=\left(-11\right)^2-4.2.5=81>0\)nên pt (*) có 2 nghiệm phân biệt:

\(\orbr{\begin{cases}x_1=\frac{-\left(-11\right)+\sqrt{81}}{2.2}=5\left(nhận\right)\\x_2=\frac{-\left(-11\right)-\sqrt{81}}{2.2}=\frac{1}{2}\left(nhận\right)\end{cases}}\)

Vậy pt đã cho có tập nghiệm \(S=\left\{\frac{1}{2};5\right\}\)

2) Nhận thấy \(3x^2-27=3\left(x^2-9\right)=3\left(x-3\right)\left(x+3\right)\)nên ĐKXĐ ở đây là \(x\ne\pm3\)

pt đã cho \(\Leftrightarrow\frac{1}{3\left(x-3\right)\left(x+3\right)}+\frac{3}{4}=1+\frac{1}{x-3}\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{3\left(x-3\right)\left(x+3\right)}-\frac{3\left(x+3\right)}{3\left(x-3\right)\left(x+3\right)}=\frac{1}{4}\)

\(\Leftrightarrow\frac{1-3x-9}{3x^2-27}=\frac{1}{4}\)\(\Rightarrow-12x-32=3x^2-27\)\(\Leftrightarrow3x^2+12x+5=0\)(#)

Nhận thấy \(\Delta'=6^2-3.5=21>0\)

Vậy pt (#) có 2 nghiệm phân biệt \(\orbr{\begin{cases}x_1=\frac{-12+\sqrt{21}}{3}\left(nhận\right)\\x_2=\frac{-12-\sqrt{21}}{3}\left(nhận\right)\end{cases}}\)

Vậy pt đã cho có tập nghiệm \(S=\left\{\frac{-12\pm\sqrt{21}}{3}\right\}\)

 có nhiều quan hệ với các nước thuộc tiểu vùng sông Mê Công,

gần với vùng kinh tế năng động Đông Nam bộ nên

thuận lợi cho giao lưu trên đất liền và biển với các vùng và các nước.]