\(4n+9⋮2n-1\)

\(\Rightarrow4n-2+11⋮2n-1\)

\(\Rightarrow2\left(2n-1\right)+11⋮2n-1\)

\(\Rightarrow11⋮2n-1\)

\(\Rightarrow2n-1=Ư\left(11\right)\)

Mà n là số tự nhiên \(\Rightarrow2n-1\ge-1\)

\(\Rightarrow2n-1=\left\{-1;1;11\right\}\)

\(\Rightarrow n=\left\{0;1;6\right\}\)

\(25\cdot\left(-4\right)-54:9+\left(-48\right):\left(-8\right)=-100-6+6=-100\)

25.(-4)-54:9+(-48):(-8)

=-100-6+6

=-106+6

=-100

   2023.(16 - 2024) + 2024.2023 - 16.(2023 + 10)

= 2023.16 - 2023.2024 + 2024.2023 - 16.2023 - 16.10

= (2023.16 - 16.2023) - (2023.2024 - 2024.2023) - 16.10

= 0 - 0 - 16.10

= - 160 

\(2023.\left(16-2024\right)+2024.2023-16.\left(2023+10\right)\)

\(=2023.16-2023.2024+2023.2024-16.2023-16.10\)

\(=2023\left(16-16\right)+2023\left(2024-2024\right)-16.10\)

\(=0+0-160=-160\)

\(3n+10⋮n-1\Rightarrow3n-3+13⋮n-1\)

\(\Rightarrow3\left(n-1\right)+13⋮n-1\)

Do \(3\left(n-1\right)⋮n-1\Rightarrow13⋮n-1\)

\(\Rightarrow n-1=Ư\left(13\right)=\left\{-13;-1;1;13\right\}\)

\(\Rightarrow n=\left\{-12;0;2;14\right\}\)

Do n là số tự nhiên \(\Rightarrow n=\left\{0;2;14\right\}\)

Gọi \(d=ƯC\left(n+3;2n+5\right)\) với \(d\in N\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}n+3⋮d\\2n+5⋮d\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow2\left(n+3\right)-\left(2n+5\right)⋮d\)

\(\Rightarrow1⋮d\Rightarrow d=1\)

Vậy \(n+3\) và \(2n+5\) nguyên tố cùng nhau với mọi số tự nhiên n

Gọi d = ƯCLN(n + 3, 2n + 50 với d ∈ N

⇒⎩⎨⎧​n+3⋮d2n+5⋮d​ $\Rightarrow 2\left(n+3\right)-\left(2n+5\right)⋮d$

$\Rightarrow 1⋮d\Rightarrow d=1$

Vậy $n+3$ và $2n+5$ nguyên tố cùng nhau với mọi số tự nhiên n

Gọi \(d=ƯC\left(2n+3;4n+8\right)\) với \(d\in N\)

Do \(2n+3\) luôn lẻ \(\Rightarrow d\) lẻ

\(\left\{{}\begin{matrix}2n+3⋮d\\4n+8⋮d\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow4n+8-2\left(2n+3\right)⋮d\)

\(\Rightarrow2⋮d\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}d=1\\d=2\end{matrix}\right.\)

Mà d lẻ \(\Rightarrow d=1\)

Vậy 2n+3 và 4n+8 nguyên tố cùng nhau với mọi \(n\in N\)

Gọi \(d=ƯC\left(n+1;2n+3\right)\) với \(d\in N\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}n+1⋮d\\2n+3⋮d\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow2n+3-2\left(n+1\right)⋮d\)

\(\Rightarrow1⋮d\Rightarrow d=1\)

Vậy n+1 và 2n+3 nguyên tố cùng nhau với mọi \(n\in N\)

Cứ 1 tia chung gốc sẽ tạo với 2021 - 1 tia còn lại số góc là: 2021 - 1 (góc)

Với 2021 tia chung gốc tạo được số góc là: (2021 - 1) x 2021 (góc)

Theo cách tính trên mỗi góc được tính hai lần nên số góc thực tế được tạo từ 2021 tia trong đó không có bất cứ hai tia nào đối nhau là:

       (2021 - 1) x 2021: 2 = 2041210 (góc)

Kết luận:..

A =1+3+3²+.....+3²⁰²²+3²⁰²³

3.A =3+3²+3³+.....+3²⁰²³+3²⁰²⁴

3.A -A=(3+3²+3³+.....+3²⁰²³+3²⁰²⁴ ) - (1+3+3²+.....+3²⁰²²+3²⁰²³)

2A =3²⁰²⁴-1

A =\(\dfrac{3^{2024}-1}{2}\)