Người quen nhờ vả à Hậu vừa hỏi mình bài này xong mình cũng bó tay

Chuẩn

A B C E H D

+) Kẻ AE là phân giác ngoài của góc BAC 

Mà AD là phân giác của góc BAC nên AD vuông góc với AE => tam giác EAD vuông tại A

+) Áp dụng ĐL Pi - ta go trong tam giác vuông AHD có: DH = \(\sqrt{AD^2-AH^2}=\sqrt{45^2-36^2}=27\) cm

+) Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông EAD có: AD² = DH. DE => DE = AD² / DH = 45²/ 27 = 75 cm

+)Áp dụng tính chất tia phân giác trong và ngoài  tam giác có: \(\frac{BD}{DC}=\frac{AB}{AC}=\frac{EB}{EC}\) 

 Đặt BD = x (0 < x < 40) => CD = 40 - x. Ta có:

\(\frac{x}{40-x}=\frac{75-x}{75+\left(40-x\right)}\) (do EB = DE - BD; EC = DE + DC)

=> x. (115 - x) = (40 - x).(75 - x)

<=> 115x - x² = 3000 - 115x + x² <=> x² - 115x + 1500 = 0

=> x = 100  (Loại)  hoặc x = 15 (thoả mãn)

Vậy BD = 15 cm  hoặc BD = 40 - 15 = 25 cm (Nếu ta đổi vị trí B và C cho nhau)

Đặt  dưa hấu= a ; cà chua= b ; bưởi= c;ớt =d; tỏi = e;hành =f ;mận =g ; lê=h ; xoài = i thay vào ta có:

a + i = 13 (1)

 g + h = c (2)

c-f-e-d = i (3)

g.h =a-d      (4)

 d+a+h+g = 17  (5)

 i+d+f+e = 6       (6)

c+ d = 7  (7)

b +g = 5      (8) 

b + d +e +f +g +h+i = 14  (9)

Thay (6) vào (9) ta có  6 +b +g +h = 14 => h = 14 - 6 -(b+g) = 14 - 6 - 5 = 3

Thay (3) vào (9) ta có : b +d +e +f +g +h +c -d-f-e = 14 => g + b + h +c = 14 => c = 14  - h - (b+g ) = 14 - 3 -5 =6

c + d = 7 => d = 7 -c = 7- 6 = 1

g + h = c => g = c - h = 6 - 3 = 3

a + d +h +g = 17 => a + d = 17 - (h+g) = 17 - 3 - 3 = 11 (1)

h.g = a-d hay 3.3 = a -d => a - d = 9       (2)

Lấy (1) + (2) => 2a = 20 => a = 10 

a +i = 13 => i = 13 -a = 13 - 10 = 3

i+d+e+f = 6 => e+f = 6-3-1=2=> e=f=1 hoặc e=0 hoặc f= 2 (cũng đúng)

Vậy mận= lê =xoài =3;ớt =1 ; dưa hấu = 10; bưởi= 6 còn hành =tỏi = 1 hoặc Hành=0 ;tỏi = 2 (hãy thử tính lại xem đúng không nhá)

2) M = (x²⁵ + 1 + 1 + 1 + 1) - 5x⁵ + 2

Áp dụng BĐT Cô - si cho 5 số dương x²⁵; 1;1;1;1 ta có: x²⁵ + 1 + 1 + 1 + 1 \(\ge\)5.\(\sqrt[5]{x^{25}.1.1.1.1}=x^5\) = 5x⁵

=> M \(\ge\) 5x⁵ - 5x⁵ + 2 = 2

Vậy M nhỏ nhất = 2 khi x²⁵ = 1 => x = 1

\(ab=\frac{1}{c};c=\frac{1}{ab}\)

\(a+b+c-\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)=a+b+\frac{1}{ab}-\frac{1}{a}-\frac{1}{b}-ab\)

\(=\left(a+b-ab-1\right)+\left(\frac{1}{ab}-\frac{1}{a}-\frac{1}{b}+1\right)\)

\(=-\left(a-1\right)\left(b-1\right)+\left(1-\frac{1}{a}\right)\left(1-\frac{1}{b}\right)\)

\(=-\left(a-1\right)\left(b-1\right)+\frac{\left(a-1\right)\left(b-1\right)}{ab}\)

\(=-\left(a-1\right)\left(b-1\right)+\left(a-1\right)\left(b-1\right)c\)

\(=\left(a-1\right)\left(b-1\right)\left(c-1\right)\)

Do biểu thức ban đầu dương nên ta có đpcm