Hằng đẳng thức quen thuộc: \(a^3+b^3+c^3-3abc=\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\right)\)

\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca=\frac{a^3+b^3+c^3-3abc}{6}\)

khi đó \(vT=\frac{a^3+b^3+c^3-3abc}{6}+abc=\frac{a^3+b^3+c^3+3abc}{6}\)

Cần chứng minh \(a^3+b^3+c^3+3abc\ge48\)

ta có: \(a^3+b^3+c^3=\left(a+b+c\right)^3-3\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)=216-3\left(6-a\right)\left(6-b\right)\left(6-c\right)\)

\(=216-18\left(ab+bc+ca\right)+3abc\)

do đó \(VT=216-18\left(ab+bc+ca\right)+6abc\)(*)

ta có bất đẳng thức phụ sau : với a,b,c là 3 cạnh của 1 tam giác thì \(abc\ge\left(a+b-c\right)\left(b+c-a\right)\left(c+a-b\right)\)

# : cách CM: dùng AM-GM lên google mà surt

ÁP dụng :\(abc\ge\left(a+b-c\right)\left(b+c-a\right)\left(c+a-b\right)=\left(6-2a\right)\left(6-2b\right)\left(6-2c\right)\)

\(abc\ge24\left(ab+bc+ca\right)-8abc-216\)\(\Leftrightarrow9abc\ge24\left(ab+bc+ca\right)-216\)

\(\Leftrightarrow6abc\ge16\left(ab+bc+ca\right)-144\)(**)

từ (*) và (**) ta có: \(VT\ge72-2\left(ab+bc+ca\right)\ge72-2.\frac{1}{3}\left(a+b+c\right)^2\)(AM-GM)

\(\Leftrightarrow VT\Rightarrow72-\frac{2}{3}.36=48\)(đpcm)

Dấu = xảy ra khi a=b=c=2

co to kb nhe

kb với mk đi nha nhưng mk hết lượt rùi

câu 5

A = \(\frac{yz}{x^2+2yz}\)+\(\frac{xz}{y^2+2xz}\)+\(\frac{xy}{z^2+2xy}\)

   =\(\frac{xyz}{x^3+2xyz}\)+\(\frac{xyz}{y^3+2xyz}\)+\(\frac{xyz}{z^3+2xyz}\)

  =\(xyz\cdot\left(\frac{1}{x^3}+\frac{1}{y^3}+\frac{1}{z^3}\right)+\frac{3}{xyz}\)

   = xyz*0 +\(\frac{3}{xyz}\)

 = \(\frac{3}{xyz}\)

=tự tính ik

ko vô được bạn ơi

a) đề bị sai , nếu giữ nguyên như kia thì phải thêm ĐK a+b+c=3 

b) Áp dụng Bất đẳng thức cauchy cho 3 số:

\(\frac{a}{a+1}+\frac{b}{b+1}+\frac{c}{c+1}\ge3\sqrt[3]{\frac{abc}{\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)}}\)(1)

\(\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{c+1}\ge\frac{3}{\sqrt[3]{\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)}}\)(2)

cộng theo vế (1) và (2): \(3\ge\frac{3+3\sqrt[3]{abc}}{\sqrt[3]{\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)}}\)

\(\Leftrightarrow\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)\ge\left(1+\sqrt[3]{abc}\right)^3\)(đpcm)

Dấu = xảy ra khi a=b=c

ĐK: -1 <= x <= 1

Đặt y = \(\sqrt{1-x^2}\)

=> y² = 1 - x² (y >= 0)

=> x = \(\sqrt{1-y^2}\)

<=>

x³ + y³ = 2xy

x² + y² = 1

<=>

(x + y)³ - 3x²y - 3xy² = 2xy

(x + y) - 2xy = 1

<=>

(x + y)³ - 3xy(x + y) = 2xy

(x + y) - 2xy = 1

Đặt S = x + y, P = xy

=>

S³ - 3SP = 2P

S - 2P = 1

Chỗ này PT bậc 3 nghiệm không nguyên!

a. Cô sửa thành AM² = CM.CD

Xét tam giác ACM và DCA có: \(\widehat{C}\) chung, \(\widehat{CAM}=\widehat{CDA}\) (Chắn hai cung CB và CA bằng nhau)

Vậy thì \(\Delta ACM\sim\Delta DCA\left(g-g\right)\Rightarrow\frac{AC}{CD}=\frac{CM}{CA}\Rightarrow CA^2=CD.CM\)

b.  C là điểm chính giữa cung AB nên OC vuông góc AB tại trung điểm N. Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ADM. AI cắt (O) tại J.

Do câu a: \(\Delta ACM\sim\Delta DCA\left(g-g\right)\Rightarrow\widehat{CAD}=\widehat{CMA}\)

Lại có \(\widehat{JAD}=\widehat{JCD}\) nên \(\widehat{JAD}+\widehat{DAC}=\widehat{JCD}+\widehat{CMA}=90^o\Rightarrow\widehat{CAJ}=90^o\)

Vậy CJ là đường kính (O) hay J cố định, từ đó suy ra Ạ cố định. Lại có tâm I luôn thuộc AJ nên ta đã chứng minh được tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ADM thuộc một đường thẳng cố định.

em thấy không ổn lắm ạ vì \(\widehat{JCD}\ne\widehat{OCD}\)

Hệ tương đương

\(\hept{\begin{cases}\left(x+y\right)^2-2xy-2\left(x+y\right)=6\\x+y-xy=5\end{cases}}\)

S = x + y, P = xy

=>

\(\hept{\begin{cases}S^2-2P-2S=6\\S-P=5\end{cases}}\)

Thay P = S - 5 vào PT trên

=> S² - 2(S - 5) - 2S = 6

<=> S² - 4S + 4 = 0

<=> S = 2

=> P = -3

=> x, y là 1 nghiệm của PT

X² - 2X - 3 = 0

=>

x = -1, y = 3

Hoặc x = 3, y = -1

Để pt có hai nghiệm thì \(\Delta'\ge0\Rightarrow m^2-\left(m^2-m+1\right)\ge0\Rightarrow m-1\ge0\Rightarrow m\ge1.\)

Khi đó theo hệ thức Viet: \(\hept{\begin{cases}x_1+x_2=2m\\x_1.x_2=m^2-m+1\end{cases}}\)

Vậy thì \(x_1^2+2mx_2=x_1^2+\left(x_1+x_2\right)x_2=9\)

\(\Rightarrow x_1^2+x_1.x_2+x_2^2=9\Rightarrow\left(x_1+x_2\right)^2-x_1x_2=9\)

\(\Rightarrow\left(2m\right)^2-m^2+m-1=9\Rightarrow3m^2+m-10=0\)

\(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}m=-2\left(l\right)\\m=\frac{5}{3}\left(n\right)\end{cases}}\)