\(P=\frac{ab}{\sqrt{ab+2c}}+\frac{bc}{\sqrt{bc+2a}}+\frac{ca}{\sqrt{ca+2b}}\)

Ta có: \(\frac{ab}{\sqrt{ab+2c}}=\frac{ab}{\sqrt{ab+\left(a+b+c\right)c}}=\frac{ab}{\sqrt{\left(a+c\right)\left(b+c\right)}}\)

Theo BĐT \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\) thì ta có:

\(\frac{ab}{\sqrt{ab+2c}}=\frac{ab}{\sqrt{\left(a+c\right)\left(b+c\right)}}\le\frac{1}{2}\left(\frac{ab}{a+c}+\frac{ab}{b+c}\right)\)

Tương tự cho 2 BĐT còn lại ta cũng có:

\(\frac{bc}{\sqrt{bc+2a}}\le\frac{1}{2}\left(\frac{bc}{a+b}+\frac{bc}{a+c}\right);\frac{ca}{\sqrt{ca+2b}}\le\frac{1}{2}\left(\frac{ca}{a+b}+\frac{ca}{b+c}\right)\)

Cộng theo vế 3 BĐT trên ta có:

\(P\le\frac{1}{2}\left(\frac{ab+bc}{a+c}+\frac{ab+ca}{b+c}+\frac{bc+ca}{a+b}\right)\)

\(=\frac{1}{2}\left(a+b+c\right)=\frac{1}{2}\cdot2=1\left(a+b+c=2\right)\)

Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c=\frac{2}{3}\)

có v.v ngôi sao

tk mk nha

ko thể nài biết được

a) Áp dụng hệ quả định lý thales:

\(\frac{MQ}{CD}+\frac{MP}{AB}=\frac{AM}{AC}+\frac{MC}{AC}=\frac{AC}{AC}=1\)

Áp dụng BĐT bunyakovsky:

\(\left(\frac{1}{AB^2}+\frac{1}{CD^2}\right)\left(MP^2+MQ^2\right)\ge\left(\frac{MP}{AB}+\frac{MQ}{CD}\right)^2=1\)

\(\Rightarrow\frac{1}{AB^2}+\frac{1}{CD^2}\ge\frac{1}{MP^2+MQ^2}\)

dấu = xảy ra khi \(\frac{MC}{AM}=\frac{CD^2}{AB^2}\)

b) chưa nghĩ :v

<=>\(\orbr{\begin{cases}3x^2-7x+1=x^2-3x+5\\3x^2-7x+1=-x^2+3x-5\end{cases}}\)

<=> \(\orbr{\begin{cases}2x^2-4x-4=0\\4x^2-10x+6=0\end{cases}}\)

Sau đó áp dụng công thức nghiệm là ra

đt simson

cần chứng minh \(\frac{b}{\sqrt{a+b}-\sqrt{a-b}}< \frac{c}{\sqrt{a+c}-\sqrt{a-c}}\)

\(\Leftrightarrow\frac{b\left(\sqrt{a+b}+\sqrt{a-b}\right)}{a+b-a+b}< \frac{c\left(\sqrt{a+c}+\sqrt{a-c}\right)}{a+c-a+c}\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{a+b}+\sqrt{a-b}< \sqrt{a+c}+\sqrt{a-c}\)

\(\Leftrightarrow2a+2\sqrt{a^2-b^2}< 2a+2\sqrt{a^2-c^2}\)

\(\Leftrightarrow a^2-b^2< a^2-c^2\Leftrightarrow b^2>c^2\)(luôn đúng vì a>b>c)

Dùng liên hợp cũng ra bn nhé

Thể tích hình trụ đó là:

   3,14x6²x9=1017,36(cm3)

Đáp số: 1017,36 cm3

Mọi người tk cho mình nha. Mình cảm ơn nhiều ^.<

Cô bé tháng 1

có mk nè

CÓ MÌNH NÈ BẠN ƠI

ỦNG HỘ K MÌNH NHA

Phân hoạch \(100\) số tự nhiên đầu tiên thành các tập hợp sau:

\(A_1=\left\{1\right\}\)

\(A_2=\left\{2;4;6;8;...;100\right\}\)

\(A_3=\left\{3;9;15;...;99\right\}\)

\(A_5=\left\{5;25;35;55;...;95\right\}\)

Nghĩa là \(A_i\) với \(i\) nguyên tố chứa các bội của \(i\) mà không chia hết cho số nào nhỏ hơn \(i\) trừ số \(1\).

Giả sử có 27 số mà trong chúng không có ước chung lớn nhất khác 1.

Với mọi \(i\), trong mỗi \(A_i\) ta chỉ chọn được tối đa một số, vì nếu chọn 2 số thì chúng có ước chung là \(i\).

Có 25 số nguyên tố nhỏ hơn 100, tương ứng trong 25 \(A_i\) chỉ chọn được 25 số là tối đa.

Chọn thêm số 1 thì tối đa chọn được 26 số sao cho không có ước chung lớn nhất khác 1.

Nên nếu chọn 27 số thì trong chúng có ước chung lớn nhất khác 1.