\(P=4\left[\left(cos^21^0+cos^289^0\right)+\left(cos^22^0+cos^288^0\right)+...+\left(cos^244^0+cos^246^0\right)+cos^245^0\right]\)

\(=4\left[\left(cos^21^0+sin^21^0\right)+\left(cos^22^0+sin^22^0\right)+...+\left(cos^244^0+sin^244^0\right)+cos^245^0\right]\)

\(=4\left(1+1+...+1+\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\)

\(A=\sqrt{\frac{x+10}{x+2}}=\sqrt{1+\frac{8}{x+2}}\le\sqrt{1+\frac{8}{2}}=\sqrt{5}\)

\(a\sqrt{4-b^2}+b\sqrt{4-a^2}=4\)

\(\Leftrightarrow a\sqrt{4-b^2}=4-b\sqrt{4-a^2}\)

\(\Leftrightarrow\left(a\sqrt{4-b^2}\right)^2=\left(4-b\sqrt{4-a^2}\right)^2\)

\(\Leftrightarrow2b\sqrt{4-a^2}=b^2+4-a^2\)

\(\Leftrightarrow\left(2b\sqrt{4-a^2}\right)^2=\left(b^2+4-a^2\right)^2\)

\(\Leftrightarrow a^4+b^4+16+2a^2b^2-8a^2-8b^2=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a^2+b^2-4\right)^2=0\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2=4\)

Ta có : \(a+b+15=6\sqrt{a-1}+4\sqrt{b+3}\)(ĐK : \(a\ge1;b\ge-3\))

<=> \(\left(a-1-6\sqrt{a-1}+9\right)+\left(b+3-4\sqrt{b+3}+4\right)=0\)

<=> \(\left(\sqrt{a-1}-3\right)^2+\left(\sqrt{b+3}-2\right)^2=0\)

<=> \(\hept{\begin{cases}\sqrt{a-1}-3=0\\\sqrt{b+3}-2=0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a-1=9\\b+3=4\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=10\\b=1\end{cases}}\)

Vậy a = 10 ; b = 1

a) Xét đường tròn (O) có các tiếp tuyến tại A và B của đường tròn cắt nhau tại M

\(\Rightarrow MA=MB\)(tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

\(\Rightarrow\)M nằm trên đường trung trực của đoạn AB.

Dễ thấy \(OA=OB\left(=R\right)\)(với R là bán kính của đường tròn (O))

\(\Rightarrow\)O nằm trên đường trung trực của đoạn AB.

Mà M cũng nằm trên đường trung trực của đoạn AB nên MO là trung trực của đoạn AB (đpcm)

b) Vì MO là trung trực của đoạn AB (theo câu a) \(\Rightarrow MO\perp AB\)

Xét đường tròn (O), ta có \(A\in\left(O\right)\)và AO cắt (O) tại C (gt) \(\Rightarrow\)AC là đường kính của (O).

Mặt khác \(B\in\left(O\right)\) \(\left(B\ne A;B\ne C\right)\)nên \(\widehat{ABC}=90^0\)(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

\(\Rightarrow BC\perp AB\)

Mà \(MO\perp AB\left(cmt\right)\)

\(\Rightarrow BC//MO\left(\perp AB\right)\)

\(\Rightarrow\)Tứ giác BMOC là hình thang (theo định nghĩa)

c) Gọi H là giao điểm của MO và AB. Vì MO là trung trực của đoạn AB nên H là trung điểm của AB \(\Rightarrow AH=BH=\frac{AB}{2}=\frac{8}{2}=4\left(cm\right)\)

Hơn nữa \(MO\perp AB\left(cmt\right)\Rightarrow AH\perp MO\)tại H\(\Rightarrow\)AH là đường cao của \(\Delta AMO\)

Mặt khác MA là tiếp tuyến của (O) \(\Rightarrow MA\perp OA\)tại A (tính chất tiếp tuyến đường tròn) \(\Rightarrow\Delta AMO\)vuông tại A

\(\Delta AMO\)vuông tại A có đường cao AH \(\Rightarrow\frac{1}{AH^2}=\frac{1}{OA^2}+\frac{1}{AM^2}\left(htl\right)\Rightarrow\frac{1}{AM^2}=\frac{1}{AH^2}-\frac{1}{OA^2}=\frac{1}{4^2}-\frac{1}{5^2}=\frac{25-16}{16.25}=\frac{9}{400}\)

\(\Rightarrow\frac{1}{AM^2}=\frac{9}{400}\Rightarrow\frac{1}{AM}=\frac{3}{20}\Rightarrow AM=\frac{20}{3}\left(cm\right)\)

Vì AM = BM (cmt) \(\Rightarrow BM=\frac{20}{3}cm\)

Chu vi \(\Delta MAB\)là: \(AB+MA+MB=8+\frac{20}{3}+\frac{20}{3}=8+\frac{40}{3}=\frac{24+40}{3}=\frac{64}{3}\left(cm\right)\)

Vậy chu vi tam giác MAB là 64/3 cm.

\(\sqrt{4-2\sqrt{3}}-\frac{2}{\sqrt{3}+1}+\frac{\sqrt{3}-3}{\sqrt{3}-1}\)

\(=\sqrt{3}-1-\frac{2\left(\sqrt{3}-1\right)}{2}+\frac{\sqrt{3}\left(1-\sqrt{3}\right)}{\sqrt{3}-1}\)

\(=\sqrt{3}-1-\sqrt{3}+1-\sqrt{3}=-\sqrt{3}\)

Gợi ý cách làm nhé (mong bạn thông cảm vì nhiều quá):

Bài 1:

a) Sử dụng công thức \(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\)kết hợp với điều kiện \(cos\alpha=0,6\)(gt) để tính \(\sin\alpha\)

Sau đó sử dụng công thức \(\tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\)để tìm \(\tan\alpha\)

Cuối cùng sử dụng công thức \(\tan\alpha.\cot\alpha=1\)để tính \(\cot\alpha\)

b) Sử dụng công thức \(\tan\alpha.\cot\alpha=1\)kết hợp với điều kiện\(\tan\alpha=1,5\) (gt) để tính \(\cot\alpha\)(cụ thể \(\cot\alpha=\frac{2}{3}\))

Kề đó sử dụng các công thức \(\hept{\begin{cases}\tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\\\cot\alpha=\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}\sin\alpha=\cos\alpha.\tan\alpha\\\sin\alpha=\frac{\cos\alpha}{\cot\alpha}\end{cases}}\Rightarrow\cos\alpha.\tan\alpha=\frac{\cos\alpha}{\cot\alpha}\)

Và thay \(\tan\alpha=1,5;\cot\alpha=\frac{2}{3}\)vào hệ thức để tính \(\cos\alpha\)

Cuối cùng sử dụng công thức \(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\)để tính \(\sin\alpha\)

Bài 2:

a) \(\Delta ABC\)vuông tại A

+)Tính góc C:  Áp dụng tính chất tam giác vuông để suy ra \(\widehat{B}+\widehat{C}=90^0\)kết hợp với điều kiện \(\widehat{B}=40^0\left(gt\right)\)để tính góc C.

+) Tính AC: Áp dụng hệ thức \(AC=AB.\tan B\)kết hợp với điều kiện \(AB=7cm;\widehat{B}=40^0\left(gt\right)\)để tính AC.

+) Tính BC: Áp dụng công thức \(\sin B=\frac{AC}{BC}\Rightarrow BC=\frac{AC}{\sin B}\)kết hợp với việc tính được AC ở trên và \(\widehat{B}=40^0\)để tính BC

b) \(\Delta ABC\)vuông tại A:

+) Tính góc B: Theo tính chất tam giác vuông thì \(\widehat{B}+\widehat{C}=90^0\)kết hợp với đk \(\widehat{C}=30^0\left(gt\right)\)để tính góc B.

+) Tính AB: Áp dụng hệ thức \(AB=BC.\sin C\)kết hợp đk \(BC=16cm;\widehat{C}=30^0\left(gt\right)\)để tính AB.

+) Tính AC: Áp dụng hệ thức \(AC=BC.\cos C\)kết hợp đk \(BC=16cm;\widehat{C}=30^0\left(gt\right)\)để tính AC.

c) \(\Delta ABC\)vuông tại A:

+) Tính BC: Dùng định lý Pytago: \(BC^2=AB^2+AC^2\)khi đã biết AB, AC.

+) Tính góc B: Có \(\tan B=\frac{AC}{AB}=\frac{21}{18}=\frac{7}{6}\)rồi dùng máy tính cầm tay tính góc B.

+) Tính góc C: Theo tính chất tam giác vuông thì \(\widehat{B}+\widehat{C}=90^0\)dễ dàng tính được góc C khi đã biết số đo góc B.

d) \(\Delta ABC\)vuông tại A:

+) Tính AB: Từ định lí Pytago \(BC^2=AB^2+AC^2\Rightarrow AB^2=BC^2-AC^2\)và dễ dàng tính được AB khi đã biết BC, AC.

+) Tính góc B: Áp dụng công thức: \(\sin B=\frac{AC}{BC}=\frac{12}{13}\), đến đây là việc của Casio.

+) Tính góc C: Tính chất tam giác vuông \(\widehat{B}+\widehat{C}=90^0\), kết hợp việc tính được góc B để tính góc C.

Bài 3: 

a) Bạn đổi hết về sin hoặc cos rồi sắp xếp nhé. Áp dụng định lý nếu hai góc phụ nhau thì sin góc này bằng cos góc kia và ngược lại.

VD: \(\cos42^0=\sin48^0\left(42^0+48^0=90^0\right)\)

Theo tớ thì nên đổi về sin vì sin của góc lớn hơn thì lớn hơn. Còn bạn đổi về cos cũng được nhưng lại hơi rối vì cos của góc lớn hơn lại bé hơn.

b) Bạn cũng đổi hết về tan rồi sắp xếp cho dễ. Vẫn là định lý nếu hai góc phụ nhau thì tan góc này bằng cot góc kia và ngược lại.

VD: \(\cot49^0=\tan41^0\left(49^0+41^0=90^0\right)\)

Nên đổi về tan vì tan của góc lớn hơn thì lớn hơn, còn bạn muốn đổi về cot cũng được nhưng cũng giống như trên, hơi rối vì cot của góc lớn hơn lại bé hơn.

Bài 4:

Vì AH là đường cao của \(\Delta ABC\)nên \(AH\perp BC\)tại H.

Do đó các tam giác ABH và ACH đều là các tam giác vuông tại H.

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}\sin B=\frac{AH}{AB}\\\sin C=\frac{AH}{AC}\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}AB=\frac{AH}{\sin B}\\AC=\frac{AH}{\sin C}\end{cases}}\)rồi kết hợp với các đk \(AH=6cm;\widehat{B}=40^0;\widehat{C}=30^0\left(gt\right)\)để tính AB, AC.

Cuối cùng áp dụng định lý Pytago vào tam giác ABC vuông tại A \(BC^2=AB^2+AC^2\)và dễ dàng tính được BC khi đã biết AB,AC.

----- Chúc bạn học tốt -----

a) \(\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-1\right)=0\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}\sqrt{x}=0\\\sqrt{x}-1=0\end{cases}}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=0\\x=1\end{cases}}\)

b) \(\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}+3\right)=0\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}\sqrt{x}-2=0\\\sqrt{x}+3=0\end{cases}}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=4\\\sqrt{x}=-3\left(vôlí\right)\end{cases}}\)

c) \(\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}+3\right)=0\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}\sqrt{x}+1=0\\\sqrt{x}+3=0\end{cases}}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}\sqrt{x}=-1\left(vôlí\right)\\\sqrt{x}=-3\left(vôlí\right)\end{cases}}\)

a) Ta có \(y=mx+m-2x=\left(m-2\right)x+m\)

Như vậy để y là hàm số bậc nhất thì \(m-2\ne0\Leftrightarrow m\ne2\)

b) Để y là hàm số nghịch biến thì \(m-2< 0\Leftrightarrow m< 2\)

c) Để y là hàm số đồng biến thì \(m-2>0\Leftrightarrow m>2\)

\(9x^2+2=0\)

Với mọi \(x\) ta có: \(x^2\ge0\)

\(\Rightarrow9x^2\ge0\)

\(\Rightarrow9x^2+2\ge2>0\)

\(\Rightarrow9x^2+2\ne0\)

Vậy phương trình vô nghiệm

\(\left(x+1\right)^2=2\)

\(\Rightarrow\left(x+1\right)^2=\left(\pm\sqrt{2}\right)^2\)

\(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}x+1=\sqrt{2}\\x+1=-\sqrt{2}\end{cases}}\Rightarrow\orbr{\begin{cases}x=\sqrt{2}-1\\x=-\sqrt{2}-1\end{cases}}\)

\(\left(x-2\right)^2=7\)

\(\Rightarrow\left(x-2\right)^2=\left(\pm\sqrt{7}\right)^2\)

\(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}x-2=\sqrt{7}\\x-2=-\sqrt{7}\end{cases}}\Rightarrow\orbr{\begin{cases}x=\sqrt{7}+2\\x=2-\sqrt{7}\end{cases}}\)