Áp dụng BĐT Svácxơ, ta có:

\(\dfrac{a^2}{b+1}+\dfrac{b^2}{c+1}+\dfrac{c^2}{a+1}\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{a+b+c+3}=\dfrac{81}{12}=\dfrac{27}{4}\)

Dấu "=" ⇔ a=b=c=3

Áp dụng BĐT Cô-si:

\(\dfrac{a^2}{b+1}+\dfrac{9}{16}\left(b+1\right)\ge2\sqrt{\dfrac{9a^2\left(b+1\right)}{16\left(b+1\right)}}=\dfrac{3a}{2}\) 

Tương tự: \(\dfrac{b^2}{c+1}+\dfrac{9}{16}\left(c+1\right)\ge\dfrac{3b}{2}\) ; \(\dfrac{c^2}{a+1}+\dfrac{9}{16}\left(a+1\right)\ge\dfrac{3c}{2}\)

Cộng vế:

\(VT+\dfrac{9}{16}\left(a+b+c+3\right)\ge\dfrac{3}{2}\left(a+b+c\right)\)

\(\Leftrightarrow VT+\dfrac{27}{4}\ge\dfrac{27}{2}\Rightarrow VT\ge\dfrac{27}{4}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=3\)

Kiểm tra lại mẫu số của 3 phân thức

Mẫu số của \(b+1\ne c+2,a+2.\)

Xem lại đề bạn

\(\dfrac{a^2}{b+1}+\dfrac{b^2}{c+1}+\dfrac{c^2}{a+1}\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{a+b+c+3}=\dfrac{9^2}{9+3}=\dfrac{27}{4}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=3\)

Chứng minh BĐT \(\frac{x^2}{a}+\frac{y^2}{b}+\frac{z^2}{c}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{a+b+c}\) với \(\left(a,b,c>0\right)\)

Trước hết ta cm \(\frac{x^2}{a}+\frac{y^2}{b}\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{a+b}\)\(\Leftrightarrow\frac{x^2b+y^2a}{ab}\ge\frac{x^2+y^2+2xy}{a+b}\)\(\Leftrightarrow\left(x^2b+y^2a\right)\left(a+b\right)\ge ab\left(x^2+y^2+2xy\right)\)(vì tất cả các tử số và mẫu số đều dương)

\(\Leftrightarrow x^2ab+y^2ab+x^2b^2+y^2a^2\ge abx^2+aby^2+2abxy\)\(\Leftrightarrow x^2b^2-2abxy+y^2a^2\ge0\)\(\Leftrightarrow\left(xb-ya\right)^2\ge0\)(luôn đúng)

Vậy BĐT được cm 

Để có đpcm thì ta chỉ cần áp dụng 2 lần BĐT ta vừa chứng minh xong:

\(\frac{x^2}{a}+\frac{y^2}{b}+\frac{z^2}{c}\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{a+b}+\frac{z^2}{c}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{a+b+c}\)

Phương trình vô nghiệm nhé . Có 2 cách : 4(x^2 + x + 1) =0 => (2x+1)^2 + 3 =0 ( vô lý ) 

`Answer:`

\(x^2+x+1=0\)

\(\Leftrightarrow x^2+2.\frac{1}{2}x+\frac{1}{4}+\frac{3}{4}=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}=0\)

Ta có: \(\left(x+\frac{1}{2}\right)^2\ge0\forall x\)

\(\Rightarrow\left(x+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}\ge\frac{3}{4}\forall x\)

\(\Rightarrow\left(x+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}>0\forall x\)

Vậy phương trình vô nghiệm.

Phương pháp:

Xét x=0=>2.2=0, vô lý

Xét x<>=0. Chia cả 2 vế của pt cho x^2<>0. Đặt x +1+ 2/x=t.....

Biến đổi về pt bậc 2 ẩn t rồi giải t và tìm x là xong.

`Answer:`

`(x^2+x+2)(x^2+2x+2)=2x^2`

`<=>x^4+2x^3+2x^2+x^3+2x^2+2x+2x^2+4x+4=2x^2`

`<=>x^4+3x^3+4x^2+6x+4=0`

`<=>(x^4+x^3)+(2x^3+2x^2)+(2x^2+2x)+(4x+4)=0`

`<=>x^3 .(x+1)+2x^2 .(x+1)+2x.(x+1)+4.(x+1)=0`

`<=>(x+1)[x^2 .(x+2)]+2.(x+1)=0`

`<=>(x+1).(x+2).(x^2+2)=0`

Trường hợp 1: `x+1=0<=>x=-1`

Trường hợp 2: `x+2=0<=>x=-2`

Trường hợp 3: `x^2+2=0` (Vô lý)