\(VT=\frac{1}{1+a^2}+\frac{1}{1+b^2}=\frac{1+b^2}{\left(1+a^2\right)\left(1+b^2\right)}+\frac{1+a^2}{\left(1+a^2\right)\left(1+b^2\right)}\)\(=\frac{2+a^2+b^2}{1+a^2+b^2+a^2b^2}\)

Ta luôn có:   \(\left(a-b\right)^2\ge0\)  \(\Leftrightarrow\)\(a^2+b^2\ge2ab\) \(\Leftrightarrow\)\(a^2+b^2\ge2\) do  \(ab\ge1\)

                        \(ab\ge1\)  \(\Rightarrow\)  \(a^2b^2\ge1\)

Khi đó:   \(VT=\frac{2+a^2+b^2}{1+a^2+b^2+a^2b^2}\ge\frac{2+2}{1+2ab+1}=\frac{4}{2\left(1+ab\right)}=\frac{2}{1+ab}\)

\(\Rightarrow\)\(VT\ge\frac{2}{1+ab}\)  hay    \(\frac{1}{1+a^2}+\frac{1}{1+b^2}\ge\frac{2}{1+ab}\)  (đpcm)

Ta có: \(\frac{1}{1+a^2}+\frac{1}{1+b^2}\ge\frac{2}{1+ab}\)

\(\Leftrightarrow\left(\frac{1}{1+a^2}-\frac{1}{1+ab}\right)+\left(\frac{1}{1+b^2}-\frac{1}{1+ab}\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\frac{1+ab-1-a^2}{\left(1+a^2\right)\left(1+ab\right)}+\frac{1+ab-1-b^2}{\left(1+b^2\right)\left(1+ab\right)}\ge0\)

\(\Leftrightarrow\frac{a\left(b-a\right)\left(1+b^2\right)+b\left(a-b\right)\left(1+a^2\right)}{\left(1+a^2\right)\left(1+b^2\right)\left(1+ab\right)}\ge0\)

\(\Leftrightarrow\frac{\left(a-b\right)^2\left(ab-1\right)}{\left(1+a^2\right)\left(1+b^2\right)\left(1+ab\right)}\ge0\)(đúng do \(ab\ge1\))

=> DPCM

a) Ta có \(\widehat{HAB}=\widehat{HCA}\) (Do cùng phụ với góc HAC)

Xét tam giác HBA và tam giác HAC có 

\(\widehat{HAB}=\widehat{HCA}\)

\(\widehat{BAH}=\widehat{AHC}=90^0\)

=> tam giác HBA đồng dạng với HAC

b) Theo Pythagoras => \(BC^2=AB^2+AC^2=10^2+15^2=325\) => \(BC=5\sqrt{13}\)

    \(AH=\frac{2S_{ABC}}{BC}=\frac{AB.AC}{BC}=\frac{10.15}{5\sqrt{13}}=\frac{30\sqrt{13}}{13}\)

     \(HB^2=AB^2-AH^2=10^2-\left(\frac{30\sqrt{13}}{13}\right)^2=\)  =>  \(HB=\frac{20\sqrt{13}}{13}\)

     \(HC=BC-HB=5\sqrt{13}-\frac{20\sqrt{13}}{13}=\frac{45\sqrt{13}}{13}\)

c) \(S_{ABC}=\frac{1}{2}.AB.AC=\frac{1}{2}.10.15=75\)

d) Có tam giác HBA đồng dạng với tam giác HCA 

=> \(\frac{HB}{HA}=\frac{HA}{HC}\Rightarrow AH^2=HB.HC\)

Trả lời

a^2 + b^2 - 2ab

= ( a^2 - 2ab + b^2 )

= ( a - b )^2 ≥ 0 ( luôn đúng )

Vậy...

\(a^2+b^2-2ab=\left(a-b\right)^2\ge\forall a,b\)

\(M=\frac{x^2+2x+64}{x}=\frac{x\left(x+2\right)+64}{x}=x+2+\frac{64}{x}=\left(x+\frac{64}{x}\right)+2\)

\(>=2\sqrt{x\cdot\frac{64}{x}}+2=2\cdot\sqrt{64}+2=2\cdot8+2=18\)(bdt cosi)

dấu = xảy ra khi \(x=\frac{64}{x}\Rightarrow x^2=64\Rightarrow x=8\)

vậy min M là 18 tại x=8

Ta có : \(a^2+\frac{1}{9}\ge\frac{2}{3}a\)

Suy ra 

\(VT\le\Sigma\left(\frac{a}{\left(a^2+1\right)}\right)\le\Sigma\frac{a}{\frac{2}{3}a+\frac{8}{9}}=\Sigma\frac{9a}{6a+8}=\frac{9}{2}-\Sigma\frac{6}{4+3a}\le\frac{9}{2}-\frac{54}{12+3\left(a+b+c\right)}=\frac{9}{10}\)

Đẳng thức xảy ra <=> \(a=b=c=\frac{1}{3}\)

Cách khác nhá.

Lời giải

Ta sẽ c/m:\(\frac{a}{a^2+1}\le\frac{18}{25}a+\frac{3}{50}\)

Thật vậy,ta có: BĐT \(\Leftrightarrow\frac{a}{a^2+1}-\frac{18}{25}a-\frac{3}{50}\le0\)

Thật vậy:\(VT=\frac{-\left(4a+3\right)\left(3a-1\right)^2}{50\left(a^2+1\right)}\le0\forall x\)

Vậy \(\frac{a}{a^2+1}\le\frac{18}{25}a+\frac{3}{50}\).Thiết lập hai BĐT còn lại tương tự và cộng theo vế:

\(VT\le\frac{18}{25}\left(a+b+c\right)+\frac{9}{50}=\frac{9}{10}^{\left(đpcm\right)}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)

\(P=x^2+x+1=\left(x^2+2.\frac{1}{2}x+\frac{1}{4}\right)-\frac{1}{4}+1=\left(x+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}\ge\frac{3}{4}\)

Vậy Min(P) = 3/4 

<=> x = -1/2 

Mk chỉnh lại đề câu b: Chứng minh: \(AB^2=BH.BC\) hoặc  \(HA^2=HB.HC\)

a)  Áp dụng định lý Pytago vào tam giác vuông ABC ta có:

     \(AB^2+AC^2=BC^2\)

\(\Rightarrow\)\(BC^2=6^2+8^2=100\)

\(\Rightarrow\)\(BC=\sqrt{100}=10\)

b)   Xét  \(\Delta ABH\)và    \(\Delta CBA\)có:

        \(\widehat{B}\) chung

      \(\widehat{AHB}=\widehat{CAB}=90^0\)

suy ra:   \(\Delta ABH~\Delta CBA\)(g.g)

\(\Rightarrow\)\(\frac{AB}{BC}=\frac{BH}{AB}\)  \(\Rightarrow\)\(AB^2=BH.BC\)

Chứng minh:  \(AH^2=HB.HC\) thì c/m:  \(\Delta HAB~\Delta HCA\)(g.g)

\(\Rightarrow\)\(AB^2=BH.BC\)

Ta có : 6(x + 1)² - 2(x + 1)³ + 2(x - 1)(x² + x + 1) = 1 

<=> 6(x² + 2x + 1) - 2(x³ + 3x + 3 + 1) + 2(x³ - 1) = 1

<=> 6x² + 12x + 6 - 2x³ - 6x - 6 - 3 + 2x³ - 2 = 1

<=> 6x² + 6x - 5 = 1

Sorry máy đơ mk giải tiếp nhé : 6x² + 6x - 5 = 1 

<=> 6x² + 6x - 6 = 0 

<=> x² + x - 1 = 0 

<=> x² + x + \(\frac{1}{4}-\frac{5}{4}=0\)

<=> \(\left(x+\frac{1}{2}\right)^2=\frac{5}{4}\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x+\frac{1}{2}=\sqrt{\frac{5}{4}}\\x+\frac{1}{2}=-\sqrt{\frac{5}{4}}\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=\sqrt{\frac{5}{4}}-\frac{1}{2}\\x=-\frac{1}{2}-\sqrt{\frac{5}{4}}\end{cases}}\)