Tự vẽ hình nhé!

+Từ D hạ DF⊥ AB và DE ⊥ AC => AEDF là hình vuông \(\Rightarrow AD=\sqrt{2}AE\Rightarrow\frac{\sqrt{2}}{d}=\frac{\sqrt{2}}{AD}=\frac{1}{AE}\)

=> AE = DE = DF = x.

+Có: ΔBDF ∾ ΔDCE \(\Rightarrow\frac{BF}{DF}=\frac{DE}{CE}\Rightarrow BF.CE=DF.DE=x^2\)

\(\Rightarrow\left(c-x\right)\left(b-x\right)=x^2\Leftrightarrow bc-x\left(b+c\right)+x^2=x^2\Leftrightarrow bc=x\left(b+c\right)\)

\(\Leftrightarrow\frac{b+c}{bc}=\frac{1}{x}\Leftrightarrow\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{x}\)

Mà \(\frac{\sqrt{2}}{d}=\frac{1}{AE}=\frac{1}{x}\)

\(\Rightarrow\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{\sqrt{2}}{d}\)

Đặt t = x² (t \(\ge\) 0). Khi đó, phương trình đã cho trở thành: t² - 2(m² + 2).t + m⁴ + 3 = 0   (*)

\(\Delta\)' = (m² +2)² - (m⁴ + 3) = m⁴ + 4m² + 4 - m⁴ - 3 = 4m² + 1 > 0 

=> (*) luôn có 2 nghiệm phân biệt. Gọi hai nghiệm đó là t₁; t₂

Theo hệ thức Vi - et ta có: t₁ + t₂ = 2(m² + 2)  > 0 

                                       t₁. t₂ = m⁴ + 3 > 0 

=> t₁ > 0 và t₂ > 0 (thỏa mãn điều kiện của t)

vậy (*) luôn có 2 nghiệm dương phân biệt => pt đã cho luôn có 4 nghiệm phân biệt   x₁; x₂ ; x₃; x₄

trong đó x₁; x₂  thỏa mãn x₁² = x₂² = t₁;  x₃² = x²₄ = t₂ ; x₁; x₂ đối nhau ; x₃; x₄ đối nhau

=>  \(x_1^2+x^2_2+x^2_3+x^2_4+x_1\cdot x_2\cdot x_3\cdot x_4=2t_1+2t_2+\left(-x_1^2\right).\left(-x_2^2\right)=2.\left(t_1+t_2\right)+t_1.t_2\)

= 2.2.(m² + 2) + m⁴ + 3 = m⁴ + 4m² + 11

ĐK: \(x\ne0;x+\frac{1}{x}=\frac{x^2+1}{x}\ge0\Leftrightarrow x>0\)

\(pt\Leftrightarrow x^2-4x+1+2x\left(\sqrt{\frac{x^2+1}{x}}-2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2-4x+1\right)+2x.\frac{\frac{x^2+1}{x}-4}{\sqrt{x+\frac{1}{x}}+2}=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2-4x+1\right)+2.\frac{x^2-4x+1}{\sqrt{x+\frac{1}{x}}+2}=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2-4x+1\right)\left(1+\frac{2}{\sqrt{x+\frac{1}{x}}+2}\right)=0\)

\(\Leftrightarrow x^2-4x+1=0\text{ (do }1+\frac{2}{\sqrt{x+\frac{1}{x}}+2}>0\text{)}\)

\(\Leftrightarrow x=2+\sqrt{3};\text{ }2-\sqrt{3}\text{ (nhận)}\)

Kết luận: \(x=2+\sqrt{3};\text{ }x=2-\sqrt{3}\)

p=(n-1)(n+2)/2

=> (n-1)(n+2) chia hết cho 2. mà 2 nguyên tố =>(n-1) hoặc (n+2) chia hết cho 2.

giả sử (n-1) chia hết cho 2. đặt n-1 =2k

=> n+2 = 2k +3. 

=>p= 2k(2k+3)/2 = k(2k+3)

vì k nguyên mà p là số nguyên tố

=>k=1 và 2k+3=p

=>p=5 => n=3

A B C H M

Tam giác ABC vuông tại A có AM kà trung tuyến => AM = BC/2 = \(\sqrt{41}\)/ 2

Ta có: \(\frac{AH}{AM}=\frac{40}{41}\) => AH = \(\frac{40}{41}.\frac{\sqrt{41}}{2}=\frac{20\sqrt{41}}{41}\)

Đặt AB = c; AC = b 

=> b.c = AH . BC = \(\frac{20\sqrt{41}}{41}.\sqrt{41}=20\)

Áp dụng ĐL Pi ta go có : b² + c² = BC² = 41

=> (b + c)² = b² + c² + 2bc = 41 + 2.20 = 81 => b + c = 9 (do b; c là độ dài đoạn thẳng nên b ; c > 0  ) => b = 9 - c

Thay vào b.c = 20 ta được (9 - c).c = 20 <=> c² - 9c + 20  = 0

<=> (c-4)(c - 5) = 0 <=> c = 4 hoặc c = 5

c = 4 => b = 5

c= 5 => b = 4 

Vậy 2 cạnh góc vuông là 4 và 5

Thế MR lazy hoặc ai cũng đc vì bài này cũng không khó 

A B C M

Haizzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzz cô ưi help me---thầy giao cho bọn em tầm 40 bài toàn c/m mấy cái  lằng nhằng này

\(\sqrt[3]{\frac{1}{2}+x}+\sqrt[3]{\frac{1}{2}-x}=1\)  

=> \(\frac{1}{2}+x+\frac{1}{2}-x+3\sqrt[3]{\left(\frac{1}{2}+x\right)\left(\frac{1}{2}-x\right)}\left(\sqrt[3]{\frac{1}{2}+x}+\sqrt[3]{\frac{1}{2}-x}\right)=1\)

=> \(1+\sqrt[3]{\frac{1}{4}-x^2}=1^3\Rightarrow\sqrt[3]{\frac{1}{4}-x^2}=0\)

=> \(\frac{1}{4}-x^2=0\Rightarrow x^2=\frac{1}{4}\)

=> x = 1/2 hoặc x = -1/2 

<=> \(\left(\sqrt[3]{\frac{1}{2}+x}+\sqrt[3]{\frac{1}{2}-x}\right)^3=1\)

<=> \(\frac{1}{2}+x+3.\sqrt[3]{\frac{1}{2}+x}.\sqrt[3]{\frac{1}{2}-x}\left(\sqrt[3]{\frac{1}{2}+x}+\sqrt[3]{\frac{1}{2}-x}\right)+\frac{1}{2}-x=1\)

<=> \(\sqrt[3]{\frac{1}{2}+x}.\sqrt[3]{\frac{1}{2}-x}\left(\sqrt[3]{\frac{1}{2}+x}+\sqrt[3]{\frac{1}{2}-x}\right)=0\)

Thế  \(\sqrt[3]{\frac{1}{2}+x}+\sqrt[3]{\frac{1}{2}-x}=1\) ta được \(\sqrt[3]{\frac{1}{2}+x}.\sqrt[3]{\frac{1}{2}-x}=0\)

<=> \(\sqrt[3]{\frac{1}{2}+x}=0\) hoặc \(\sqrt[3]{\frac{1}{2}-x}=0\)

<=> \(x=-\frac{1}{2}\) hoặc \(x=\frac{1}{2}\)

Thử lại : \(x=-\frac{1}{2}\); \(x=\frac{1}{2}\) thỏa mãn 

vậy pt có 2 nghiệm ....

\(=\frac{\sqrt{3}-\sqrt{5}}{3-5}+\frac{\sqrt{5}-\sqrt{7}}{5-7}+...+\frac{\sqrt{97}-\sqrt{99}}{97-99}\)

\(=\frac{\sqrt{3}-\sqrt{5}+\sqrt{5}-\sqrt{7}+...+\sqrt{97}-\sqrt{99}}{-2}\)

\(=\frac{\sqrt{3}-\sqrt{99}}{-2}=\frac{\sqrt{99}-\sqrt{3}}{2}\)

= \(\frac{\sqrt{3}-\sqrt{5}}{3-5}+\frac{\sqrt{5}-\sqrt{7}}{5-7}+...+\frac{\sqrt{97}-\sqrt{99}}{97-99}\) = \(\frac{-1}{2}.\left(\sqrt{3}-\sqrt{5}+\sqrt{5}-\sqrt{7}+...+\sqrt{97}-\sqrt{99}\right)\)

= \(-\frac{1}{2}.\left(\sqrt{3}-\sqrt{99}\right)\) = \(\frac{3\sqrt{11}-\sqrt{3}}{2}\)