a) Gọi phương trình đường thẳng (từ đây tớ viết tắt là ptđt cho gọn) của (d) là \(\left(d\right):y=ax+b\)

Đường thẳng (d) đi qua A(-1;2) nên ta thay \(x=-1;y=2\)vào ptđt (d), ta có: \(2=-a+b\Rightarrow b=a+2\)(1)

(d) đi qua B(1;3) nên thay \(x=1;y=3\)vào ptđt (d), ta có: \(3=a+b\Rightarrow b=3-a\)(2)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow a+2=3-a\Rightarrow a=\frac{1}{2}\)\(\Rightarrow b=a+2=\frac{1}{2}+2=\frac{5}{2}\)

Vậy ptđt (d) đi qua A(-1;2) và B(1;3) là \(\left(d\right):y=\frac{1}{2}x+\frac{5}{2}\)

b)  Gọi ptđt (d₁) là \(\left(d_1\right):y=a_1x+b_1\)

Vì \(\left(d_1\right)\perp\left(d\right)\)mà đường thẳng (d) chính là đường thẳng \(\left(d\right):y=\frac{1}{2}x+\frac{5}{2}\)nên \(\frac{1}{2}.a_1=-1\Rightarrow a_1=\frac{-1}{\frac{1}{2}}=-2\)

Mà (d₁) đi qua C(2;3) nên thay \(x=2;y=3\)vào ptđt (d₁), ta có: 

\(3=-2.2+b\Rightarrow b=7\)

Vậy ptđt (d₁) là \(\left(d_1\right):y=-2x+7\)

c) Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (d₁) là \(\frac{1}{2}x+\frac{5}{2}=-2x+7\Leftrightarrow\frac{1}{2}x+2x=7-\frac{5}{2}\Leftrightarrow\frac{5}{2}x=\frac{9}{2}\Leftrightarrow x=\frac{9}{5}\)

\(\Rightarrow y=-2x+7=-2.\frac{9}{5}+7=\frac{17}{5}\)

Vậy tọa độ điểm D là \(D\left(\frac{9}{5};\frac{17}{5}\right)\)

d) Vì (d₂) đi qua D nên thay \(x=\frac{9}{5};y=\frac{17}{5}\)vào ptđt (d₂), ta có:

\(\frac{17}{5}=\frac{9}{5}\left(m-1\right)+m+3\)

Rồi giải phương trình trên và dễ dàng tìm được \(m=\frac{11}{14}\)

a, Theo Pytago tam giác ABC vuông tại A

\(BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{25+144}=13\)cm 

b,c ta có : sinB = \(\frac{AC}{BC}=\frac{12}{13}\)

Do ^B ; ^C phụ nhau nên \(sinB=cosC=\frac{12}{13}\)=> ^C = 22⁰37'11.51'' ; => ^B = \(67,4^0\)

a) \(\Delta ABC\)vuông tại A (gt) \(\Rightarrow BC^2=AB^2+AC^2\left(đlPytago\right)\)

\(\Rightarrow BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{5^2+12^2}=\sqrt{25+144}=\sqrt{169}=13\left(cm\right)\)

b) \(\Delta ABC\)vuông tại A (gt)

\(\Rightarrow\sin B=\frac{AC}{BC}=\frac{12}{13};\cos B=\frac{AB}{BC}=\frac{5}{13};\tan B=\frac{AC}{AB}=\frac{12}{5};\cot B=\frac{AB}{AC}=\frac{5}{12}\)

c) \(\Delta ABC\)vuông tại A (gt)

\(\Rightarrow\sin C=\frac{AB}{BC}=\frac{5}{13}\Rightarrow\widehat{C}\approx23^0\)

a) \(\Delta ABC\)vuông tại A có trung tuyến AO (gt) \(\Rightarrow AO=\frac{1}{2}BC\)(tính chất tam giác vuông)

Mà \(OB=\frac{1}{2}BC\)(O là trung điểm BC) \(\Rightarrow AO=OB\left(=\frac{1}{2}BC\right)\)

Xét \(\Delta AOP\)vuông tại A (vì \(AP\perp AO\)tại A) và \(\Delta BOP\)vuông tại B (vì \(BP\perp BO\)tại B), ta có:

OP là cạnh huyền chung; OA = OB (cmt) \(\Rightarrow\Delta AOP=\Delta BOP\left(ch-cgv\right)\)\(\Rightarrow AP=BP\)

\(\Rightarrow\)P nằm trên đường trung trực của đoạn AB.

Mà OA = OB (cmt) \(\Rightarrow\)O nằm trên đường trung trực của đoạn AB.

\(\Rightarrow\)OP là đường trung trực của đoạn AB \(\Rightarrow OP\perp AB\)(đpcm thứ nhất)

Xin lỗi bạn nhưng tớ chỉ biết thế thôi.

Hoành độ giao điểm đths d1 và d3 ta có pt 

\(x-3=-2x+2\Leftrightarrow3x=5\Leftrightarrow x=\frac{5}{3}\)

\(\Rightarrow y=\frac{5}{3}-3=\frac{5-9}{3}=-\frac{4}{3}\)

Vậy d1 cắt d3 tại A(5/3;-4/3)

Để d2 cắt A(5/3;-4/3)

<=> \(\frac{5}{3}m-2=-\frac{4}{3}\Leftrightarrow\frac{5}{3}m=-\frac{4}{3}+2=\frac{2}{3}\Leftrightarrow m=\frac{6}{15}=\frac{2}{5}\)

ta có :

đkxđ\(\hept{\begin{cases}x-6\ge0\\x>0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x\ge6\\x>0\end{cases}}\Leftrightarrow x\ge6\)

Vì \(\sqrt{x}>0\forall x\inℝ\)và \(\sqrt{x-6}\ge0\forall x\inℝ\)

\(\Rightarrow P=\frac{3\sqrt{x-6}}{\sqrt{x}}\ge0\forall\inℝ\)nên P không thể nhỏ hơn 0 với bất kì giá trị x nào.

Với x > 0 

\(P=\frac{\sqrt{a}+5}{a+5\sqrt{a}}=\frac{\sqrt{a}+5}{\sqrt{a}\left(\sqrt{a}+5\right)}=\frac{1}{\sqrt{a}}=\frac{\sqrt{a}}{a}\)