\(A=\frac{\sqrt{\left(x-1\right)^2}}{x-1}-\frac{\sqrt{\left(x-2\right)^2}}{x-2}=\frac{\left|x-1\right|}{x-1}-\frac{\left|x-2\right|}{x-2}\)

+) Nếu  x < 1 => A = \(\frac{-\left(x-1\right)}{x-1}-\frac{-\left(x-2\right)}{x-2}=-1-\left(-1\right)=0\)

+) Nếu 1 < x < 2 => A = \(\frac{\left(x-1\right)}{x-1}-\frac{-\left(x-2\right)}{x-2}=1-\left(-1\right)=2\)

+) Nếu x > 2 => A = \(\frac{\left(x-1\right)}{x-1}-\frac{\left(x-2\right)}{x-2}=1-1=0\)

\(VP^2=\frac{a+\sqrt{a^2-b}}{2}+\frac{a-\sqrt{a^2-b}}{2}+2\sqrt{\frac{\left(a+\sqrt{a^2-b}\right)\left(a-\sqrt{a^2-b}\right)}{2.2}}\)

\(=a+\sqrt{a^2-\left(a^2-b\right)}=a+\sqrt{b}=VT^2\)

Đề sai thì phải 

b > a^2 => a^2 -b  < 0 => Căn a^2 - b không có nghĩa 

\( x^3=a+\frac{a+1}{3}\sqrt{\frac{8a-1}{3}}+a-\frac{a+1}{3}\sqrt{\frac{8a-1}{3}}+3\sqrt[3]{a+\frac{a+1}{3}\sqrt{\frac{8a-1}{3}}}.\sqrt[3]{a-\frac{a+1}{3}\sqrt{\frac{8a-1}{3}}}.x\)

=> \(x^3=2a+3\sqrt[3]{\left(a+\frac{a+1}{3}\sqrt{\frac{8a-1}{3}}\right)\left(a-\frac{a+1}{3}\sqrt{\frac{8a-1}{3}}\right)}.x\)

\(x^3=2a+3\sqrt[3]{a^2-\left(\frac{a+1}{3}\sqrt{\frac{8a-1}{3}}\right)^2}.x\)

\(x^3=2a+3\sqrt[3]{\left(\frac{1-2a}{3}\right)^3}.x\)=> \(x^3=2a+\left(1-2a\right).x\)

=> x³   = 2a + x - 2ax => x³ - x + 2ax - 2a = 0 

=> x(x²  - 1) + 2a.(x -1) = 0 

=> (x -1). (x² + x + 2a) = 0 

=> x - 1 = 0 hoặc x² + x  + 2a = 0 

Mà x² + x + 2a = x² + 2.x . (1/2) + (1/4) + 2a -(1/4) = (x +1/2)² + 2. (a - 1/8) > = 0 với mọi a > = 1/8

=>  x² + x  + 2a = 0  Vô nghiệm

vậy x = 1 => x thuộc N

\(x+\frac{1+\sqrt{4x+1}}{2}=\frac{2x+1+\sqrt{4x+1}}{2}=\frac{\left(4x+1\right)+2\sqrt{4x+1}+1}{4}=\left(\frac{1+\sqrt{4x+1}}{2}\right)^2\)

=> \(\sqrt{x+\frac{1+\sqrt{4x+1}}{2}}=\sqrt{\left(\frac{1+\sqrt{4x+1}}{2}\right)^2}=\frac{1+\sqrt{4x+1}}{2}\). tiếp tục n dấu căn

=> A = \(\frac{1+\sqrt{4x+1}}{2}\) 

\(B=\sqrt{x^2+\frac{1}{x^2}-2}-\sqrt{x^2+\frac{1}{x}+2}=\sqrt{\left(x-\frac{1}{x}\right)^2}-\sqrt{\left(x+\frac{1}{x}\right)^2}=x-\frac{1}{x}-x-\frac{1}{x}=-\frac{2}{x}\)

\(B=\sqrt{\left(x-\frac{1}{x}\right)^2}-\sqrt{\left(x+\frac{1}{x}\right)^2}=\left|x-\frac{1}{x}\right|-\left|x+\frac{1}{x}\right|=\frac{\left|x^2-1\right|}{\left|x\right|}-\frac{x^2+1}{\left|x\right|}=\frac{\left|x^2-1\right|-\left(x^2+1\right)}{\left|x\right|}\)

x² - 1 > 0 <=> (x-1).(x+1) > 0 => x + 1 < 0 hoặc x - 1> 0  <=> x <-1 hoặc x > 1

Vậy 

+) Khi x < -1 => B = \(\frac{x^2-1-\left(x^2+1\right)}{-x}=\frac{2}{x}\)

+) Khi  -1< x< 0 thì B =  \(\frac{-\left(x^2-1\right)-\left(x^2+1\right)}{-x}=\frac{-2x^2}{-x}=2x\)

+) Khi 0 < x < 1 thì B =  \(\frac{-\left(x^2-1\right)-\left(x^2+1\right)}{x}=\frac{-2x^2}{x}=-2x\)

+) Khi x  > 1 thì B =  \(\frac{\left(x^2-1\right)-\left(x^2+1\right)}{x}=\frac{-2}{x}\)

\(x+2\left(\sqrt{x}+1\right)+\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-1\right)-\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+1\right)=x+2\sqrt{x}+2+x-\sqrt{x}-x-\sqrt{x}=x+2\)

A B O M N C P I K H

a) CM và CN là hai tiếp tuyến của (O) tại M và N 

=> CM = CN và CO là p/g của góc MCN (tính chất tiếp tuyến)

Xét tam giác AMC và ANC có: CM = CN ; góc MCA = NCA  (do CO là p/g của góc MCN); Cạnh chung CA

=> tam giác AMC = ANC (c - g- c)

=> AM = AN => tam giác AMN cân tại A

+) B là trung điểm của OC => OC = 2.OB = 2R

CM là tiếp tuyến của (O) tại M => CM vuông góc với OM

=> tam giác OMC vuông tại M 

=> CM² = CO² - OM² (Theo ĐL Pi ta go)

=> CM² = (2R)² - R² = 3R² => CM = R.\(\sqrt{3}\)

+) Nối M với B; MN cắt OC tại P

Ta có: OM = ON (= R) ; CM = CN => OC là trung trực của MN => MP vuông góc với OC

AD hệ thức lượng trong  tam giác vuông OMC có:  OM² = OP. OC => OP = OM² / OC = R²/ 2R = R/2

=> AP = AO + OP = R + R/2 = 3R/2

 và MP . OC = OM . MC => MP = OM . MC : OC = R.(R. \(\sqrt{3}\)) : 2R = R\(\sqrt{3}\)/2

Trong tam giác vuông APM có: AM² = AP² + PM² = (3R/2)²  + ( R\(\sqrt{3}\)/2)² = 3R²

=> AM = R\(\sqrt{3}\)

b) Từ câu a) => AM = CM mà AM = AN; CM = CN => AM = AN = NC = CM 

=> Từ giác AMCN là hình thoi 

Vì OC là trung trực của mN => P là trung điểm của MN => MN = 2MP = R \(\sqrt{3}\); AC = AB + BC = 3R

S_AMCN  = AC . MN : 2 = 3R.  R\(\sqrt{3}\) : 2 =  3\(\sqrt{3}\)R²/2

c) Xét tam giác AMN  có O thuộc trung tuyến AP và AO = 2/3AP 

=> O là trọng tâm tam giác AMN => MO là đường trung tuyến

Kéo dài MO cắt AN tại H => H là trung điểm của AN => AH = AN/2 

mà MI = MC/2 ; AN = CM => AH = MI ; AH //MI

=> AMIH là hình bình hành ; K là giao của hai đường chéo MH và AI => K là trung điểm của AI

d) S_AMC = MP.AC : 2 = R\(\sqrt{3}\)/2. 3R : 2 = 3\(\sqrt{3}\)R²/4

I là trung điểm của CM => S_AIC = S_AMC /2 = 3\(\sqrt{3}\)R²/8

+) Xét tam giác OCM có: I; B là trung điểm của CM và OC => BI là đường trung bình

=> OM // BI; OM vuông góc với CM => BI vuông góc với CM

BI = OM/2 = R/2 ; CI = CM/2 = \(\sqrt{3}\)R/2

=> tam giác BIC vuông tại I => S_BIC = BI. IC : 2 = \(\sqrt{3}\)R²/8

=> S(AIB) = S(AIC) - S(BIC) = 2\(\sqrt{3}\)R²/8

Mà K là trung điểm của AI => S(AKB) = S(AIB)/2 = \(\sqrt{3}\)R²/8

( x+ 1 )( x + 4) = x^2 + 5x + 4 

Đặt t= x^2 + 5x + 2 ta có

t + 2 - 3 căn t = 6 

Đến đây tự giải