Xét phương trình hoành độ giao điểm có :

\(-x^2=4x-m\Leftrightarrow x^2-4x-m=0\)

để hai đồ thị cắt tại đúng một điểm thì phương trình hoành đọ giao điểm có nghiệm kép hay 

\(\Delta^'=2^2+m=0\Leftrightarrow m=-4\)

Theo hệ quả của bất đẳng thức Cauchy 

\(\Rightarrow\left(a+b+c\right)^2\ge3\left(ab+bc+ac\right)\)

\(\Rightarrow3\ge ab+bc+ac\)

\(\Rightarrow3+c^2\ge ab+bc+ac+c^2=\left(a+c\right)\left(b+c\right)\)

\(\Rightarrow\sqrt{3+c^2}\ge\sqrt{\left(a+c\right)\left(b+c\right)}\)

\(\Rightarrow\frac{ab}{\sqrt{c^2+3}}\le\frac{ab}{\sqrt{\left(a+c\right)\left(b+c\right)}}\)

Thiết lập tương tự ta có \(\hept{\begin{cases}\frac{bc}{\sqrt{a^2+3}}\le\frac{bc}{\sqrt{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}\\\frac{ac}{\sqrt{b^2+3}}\le\frac{ac}{\sqrt{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}}\end{cases}}\)

\(\Rightarrow VT\le\frac{ab}{\sqrt{\left(a+c\right)\left(b+c\right)}}+\frac{bc}{\sqrt{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}+\frac{ac}{\sqrt{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}}\)

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy 

\(\Rightarrow\frac{ab}{\sqrt{\left(a+c\right)\left(b+c\right)}}=\sqrt{\frac{a^2b^2}{\left(a+c\right)\left(b+c\right)}}\le\frac{\frac{ab}{a+c}+\frac{ab}{b+c}}{2}\)

Tượng tự ta có \(\hept{\begin{cases}\frac{bc}{\sqrt{\left(a+c\right)\left(a+b\right)}}\le\frac{\frac{bc}{a+c}+\frac{bc}{a+b}}{2}\\\frac{ac}{\sqrt{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}}\le\frac{\frac{ac}{a+b}+\frac{ac}{b+c}}{2}\end{cases}}\)

\(\Rightarrow VT\le\frac{\left(\frac{bc}{a+b}+\frac{ac}{a+b}\right)+\left(\frac{ac}{b+c}+\frac{ab}{b+c}\right)+\left(\frac{bc}{a+c}+\frac{ab}{a+c}\right)}{2}\)

\(\Rightarrow VT\le\frac{a+b+c}{2}=\frac{3}{2}\) ( đpcm ) 

Dấu " = " xảy ra khi \(a=b=c=1\)

Ta có BĐT \(\left(a+b+c\right)^2\ge3\left(ab+bc+ca\right)\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{2}\left(\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\right)\ge0\)

\(\Rightarrow ab+bc+ca\le\frac{1}{3}\left(a+b+c\right)^2=\frac{1}{3}\cdot9=3\)

Khi đó áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:

\(\frac{ab}{\sqrt{c^2+3}}=\frac{ab}{\sqrt{c^2+ab+bc+ca}}=\frac{ab}{\sqrt{\left(a+c\right)\left(b+c\right)}}\)

\(\le\frac{1}{2}\left(\frac{ab}{a+c}+\frac{ab}{b+c}\right)\). Tương tự cũng có: 

\(\frac{bc}{\sqrt{a^2+3}}\le\frac{1}{2}\left(\frac{bc}{a+b}+\frac{bc}{a+c}\right);\frac{ca}{\sqrt{b^2+3}}\le\frac{1}{2}\left(\frac{ca}{a+b}+\frac{ca}{b+c}\right)\)

Cộng theo vế 3 BĐT trên ta có:

\(VT\le\frac{1}{2}\left(\frac{bc+ca}{a+b}+\frac{bc+ab}{a+c}+\frac{ab+ca}{b+c}\right)=\frac{1}{2}\left(a+b+c\right)=\frac{3}{2}\)

Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c=1\)

đầu bài thiếu yêu cầu rồi

| x₁^​2 - x₂^2​​| = 15 mình viết thiếu giải hộ mình với.Cảm ơn bạn

a, Ta có : \(\frac{y}{x}.\sqrt{\frac{x^2}{y^4}}=\frac{y}{x}.\frac{x}{y^2}=\frac{1}{y}\)

b , Ta có : \(5xy\sqrt{\frac{x^2}{y^6}}=5xy\frac{x}{y^3}=\frac{5x^2}{y^2}\)

c, Ta có : \(0,2x^3y^3\sqrt{\frac{16}{x^4y^8}}=0,2x^3y^3.\frac{4}{x^2y^4}=\frac{0,8x}{y}\)

1. \(\sqrt{\frac{2ab^2}{162a}}=\sqrt{\frac{b^2}{81}}=\frac{|b|}{9}\)
2. \(2y^2\sqrt{\frac{x^4}{4y^2}}=\frac{2y^2x^2}{-2y}=-yx^2\)

1. \(\Leftrightarrow x^2-\sqrt{100}=0\Leftrightarrow x^2=10\Leftrightarrow x=\orbr{\begin{cases}x=\sqrt{10}\\x=-\sqrt{10}\end{cases}}\)
2. \(\Leftrightarrow\sqrt{5^2\left(2x+1\right)^2}=10\Leftrightarrow5|2x+1|=10\Leftrightarrow|2x+1|=2\) vây
   1. nếu \(x\ge\frac{-1}{2}\) \(\Leftrightarrow2x+1=2\Leftrightarrow x=\frac{1}{2}\left(tm\right)\)
   2. nếu\(x< \frac{-1}{2}\Leftrightarrow2x+1=-2\Leftrightarrow x=\frac{-3}{2}\left(tm\right)\)kết luận nghiệm

\(A=x^2+y^2+z^2-\left(xy+xy+yz\right)\)

mà \(\hept{\begin{cases}x^2+y^2\ge2xy\\y^2+z^2\ge2zy\\z^2+x^2\ge2xz\end{cases}}\Rightarrow x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+xz\)

nên \(A\le x^2+y^2+z^2-\left(x^2+y^2+z^2\right)=0\)

\(A_{Max}=0\)dấu = sảy ra khi \(\left(x,y,z\right)\)là hoán vị của \(\left(1,0,0\right)\)

này hcn là gì

là hình chữ nhật đó  Trinh à