1) Gọi A là chân tượng đài, B là đỉnh tượng đài và AC là độ dài bóng của tượng đài trên mặt đất.

Khi đó ta có \(\Delta ABC\)vuông tại A nên \(\tan C=\frac{AC}{AB}=\frac{10}{8}=\frac{5}{4}\Rightarrow\widehat{C}\approx51^020'\)

Vậy góc tạo bởi tia nắng mặt trời với mặt đất bằng khoảng 51⁰20'

2) 

Xét \(\Delta ABC\)vuông tại A có đường cao AH (gt) \(\Rightarrow\frac{1}{AH^2}=\frac{1}{AB^2}+\frac{1}{AC^2}\left(htl\right)\)

\(\Rightarrow AH^2=\frac{AB^2.AC^2}{AB^2+AC^2}=\frac{3^2.4^2}{3^2+4^2}=\frac{144}{25}\Rightarrow AH=\frac{12}{5}\left(cm\right)\)

\(\Delta ABC\)vuông tại A \(\Rightarrow BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5\left(cm\right)\)

Mặt khác \(\Delta ABC\)vuông tại A có đường cao AH nên \(AC^2=CH.BC\Rightarrow CH=\frac{AC^2}{BC}=\frac{4^2}{5}=\frac{16}{5}\left(cm\right)\)

b) Xét \(\Delta ACH\)vuông tại H, ta có \(\sin C=\frac{AH}{AC}=\frac{\frac{12}{5}}{4}=\frac{3}{5}\Rightarrow\widehat{C}\approx36^052'\)\

Lại có \(\widehat{C}+\widehat{CAH}=90^0\Rightarrow\widehat{CAH}=90^0-\widehat{C}=90^0-36^052'=53^08'\)

Vậy \(AC=4cm;AH=\frac{12}{5}cm;CH=\frac{16}{5}cm;\widehat{C}\approx36^052';\widehat{CAH}\approx53^08'\)

c) Áp dụng tính chất đường phân giác trong \(\Delta ABC\)ta có:

\(\frac{BE}{AB}=\frac{CE}{AC}=\frac{BE+CE}{AB+AC}=\frac{BC}{3+4}=\frac{5}{7}\)

\(\Rightarrow\frac{CE}{4}=\frac{5}{7}\Rightarrow CE=\frac{20}{7}\left(cm\right)\)