\(S=2+2^2+...+2^{2018}\)

\(2S=2^2+2^3+...+2^{2019}\)

\(2S-S=\left(2^2+2^3+...+2^{2019}\right)-\left(2+2^2+...+2^{2018}\right)\)

\(S=2^{2019}-2\)

S = 2 + 2^2 + 2^3 + ... + 2^2018

=> 2S = 2^2 + 2^3 + 2^4 + ... + 2^2019

=> 2S - S = 2^2 + 2^3 + 2^4 + ... + 2^2019 - 2 - 2^2 - 2^3 - ... - 2^2018

=> S = 2^2019 - 2

\(C=n^3-n^2+n-1=n^2\left(n-1\right)+\left(n-1\right)=\left(n-1\right)\left(n^2+1\right)\)

Ta có C là số nguyên tố nên C có ước là 1

TH1: n-1=1  => n=2 => C=5 (là số nguyên tố)

TH2: n²+1= 1 => n=0  => C= -1 (không là số nguyên tố)

Vậy với n=2 thì C là số nguyên tố

Có C = \(\left(n-1\right)\left(n^2+1\right)\)

Do C nguyên tố nên hoặc (n-1)=1 hoặc (n²+1)=1

TH1: n-1=1=>n=2 => C = 5 ( chọn )

TH2: n^2+1=1 => n=0 => C = -1 (loại)

Vậy n=2

M = 3x ( x + 5 ) - ( 3x +18 ) ( x -1 ) + 8

    = 3x² +15x - ( 3x² - 3x + 18x - 18 ) +8

    = 3x² +15x - 3x² +3x - 18x +18 +8

    = 26

câu kia mk k biết

x² +2x+5= ( x²+2x+1) +4= (x+1)² +4

vì  (x+1)² \(\ge\)0  với mọi x nên (x+1)²+4  >0

                                             hay x²+2x+5>0 (điều phải chứng minh)

( dấu = xảy ra \(\Leftrightarrow\)x+1=0 \(\Leftrightarrow\)x=-1)

Ta có: \(a^2+b^2\ge2ab;b^2+1\ge2b\Rightarrow a^2+2b^2+3\ge2\left(ab+b+1\right)\)

\(\Rightarrow\frac{1}{a^3+2b^2+3}\le\frac{1}{2\left(ab+b+1\right)}\)

Tương tự ta cũng có: 

\(\frac{1}{a^2+2b^2+3}+\frac{1}{b^2+2c^2+3}+\frac{1}{c^2+2a^2+3}\le\)\(\frac{1}{2}\left(\frac{1}{ab+b+1}+\frac{1}{bc+b+1}+\frac{1}{ca+a+1}\right)\)

Mà: \(\frac{1}{ab+b+1}+\frac{1}{bc+c+1}+\frac{1}{ca+a+1}=\frac{1}{ab+b+1}+\)\(\frac{ab}{ab^2+abc+ab}+\frac{b}{bca+ab+b}=1\)

\(\Rightarrow\frac{1}{a^2+2b^2+3}+\frac{1}{b^2+2c^2+3}+\frac{1}{c^2+2a^2+3}\le\frac{1}{2}\left(đpcm\right)\)\(\Leftrightarrow a=b=c=1\)

a) Đặt  \(A=4x-x^2-5\)

\(-A=x^2-4x+5\)

\(-A=\left(x^2-4x+4\right)+1\)

\(-A=\left(x-2\right)^2+1\)

Mà  \(\left(x-2\right)^2\ge0\forall x\)

\(\Rightarrow-A\ge1\)

\(\Leftrightarrow A\le-1< 0\left(đpcm\right)\)

b) Đặt  \(B=x^2-2x+5\)

\(B=\left(x^2-2x+1\right)+4\)

\(B=\left(x-1\right)^2+4\)

Mà  \(\left(x-1\right)^2\ge0\forall x\)

\(\Rightarrow B\ge4>0\left(đpcm\right)\)

a)4x-x²-5 = -(x²-4x+4)-1= -(x-2)^2 -1 < 0 với mọi x (đpcm)

b) x² -2x+5= (x²-2x+1)+4=(x-1)^2 +4 >0  với mọi x (đpcm)