a + b + c + d = 0 

=> a = - b - c - d ; b = - a - c - d; c = - a - b - d

+) a = - b- c - d =>  ab = -b² - bc - bd => ab - cd = - b² - bc - bd - cd = -b(b + c) - d(b + c) = -(b +d)(b +c)

+) b = - a - c - d => bc = -ac - c² - cd => bc - ad = -ac - c² - cd - ad = -c(a + c) - d(a+c) = - (c +d)(a+c)

+) c = -a - b - d => ca = -a² - ab - ad => ca - bd = -a² - ab - ad - bd = - (a+b).(a+ d)

=> (ab - cd).(bc - ad).(ca - bd) = - (b +d).(b +c).(c+d)(a+c)(a+b)(a+d) 

Vì a+ b + c + d = 0 => a + d = - (b + c) và b + d = - (a +c); c+d = - (a + b)

=> (ab - cd).(bc - ad).(ca - bd) = (a+ b)². (b +c)². (c +a)²

=> \(\sqrt{\left(ab-cd\right)\left(bc-ad\right)\left(ca-bd\right)}=\sqrt{\left(a+b\right)^2.\left(b+c\right)^2\left(c+a\right)^2}=\left|a+b\right|.\left|b+c\right|\left|c+a\right|\)

là số hữu tỉ với a; b; c;d là số hữu tỉ

Tick cho mình tròn 40 với

Toán Văn Anh 8 hs 5 hs 7 hs 5 2 4 3

Từ biểu đồ trên: Tổng số học sinh giỏi (Toán và  Văn; Văn và Anh; Anh và Toán) - 3 lần số hs giỏi cả 3 môn ( Toán; Văn; Anh) = Số học sinh chỉ giỏi 2 trong 3 môn

=> Số học sinh giỏi cả  3 môn là: (8 + 5 + 7 - 11) : 3 = 3 học sinh

Từ đo, ta tìm được số hs chỉ  giỏi  2 trong 3 môn ( xem hình)

b) Số học sinh chỉ giỏi Toán là: 15 - (4 + 3+ 5) = 3 HS

Số hs chỉ giỏi Văn là : 14 - (5 + 3 + 2)= 4 HS

Số hs chỉ giỏi tiếng Anh là: 12 - ( 4 + 3 + 2) = 3 HS

ĐS:...

mk biết làm nhưng mà lười đánh máy. Xin lỗi bạn nha !

Xin lỗi em, bài này chơi chữ quá, thầy không để ý. Lời giải lại:

Để cho gọn ta kí hiệu \(k=\frac{m}{100}\)

Tháng thứ nhất trước khi thêm a đồng; cả vốn lẫn lãi \(\text{a+ak=a(1+k)}\). Do đó sau khi gửi thêm a đồng, thì số tiền tổng là\(a+ak+a=a\left(1+k\right)^1+a\left(1+k\right)^0.\)

Tháng thứ hai trước khi thêm a đồng; cả vốn lẫn lãi \(\text{ a(1+k)+a+a(1+k)k+ak}=a\left(1+k\right)^2+a\left(1+k\right).\)

Sau khi thêm a đồng thì số tiền trong ngân hàng là:  \(a\left(1+k\right)^2+a\left(1+k\right).+a\).

....................................................................................

Đến tháng thứ n, thì tổng số tiền là

\(a\left(1+k\right)^n+a\left(1+k\right)^{n-1}.+\cdots+a\left(1+k\right)=a\left(1+k\right)\cdot\left(1+\left(1+k\right)+\cdots+\left(1+k\right)^{n-1}\right)\)

\(=a\left(1+k\right)\cdot\frac{\left(1+k\right)^n-1}{k}.\)

Mình chỉ biết đáp án :

\(\frac{100a}{m}\left[\left(1+0,01m\right)^n-1\right]\)

Bài 1:

Gọi số bé là ab, số lớn là 4ab

Theo bài ra ta có: 4ab+ab=446

=>400+ab+ab=446

=>2.ab=446-400

=>2.ab=46

=>ab=46:2

=>ab=23

=>4ab=423

Vậy 2 số cần tìm là 23 và 423

Bài 2:

Gọi số cầm tìm là ab

Theo bài ra ta có: 3ab=5.ab

=>300+ab=5.ab

=>5.ab-ab=300

=>ab=300:4

=>ab=75

Vậy số cần tìm là 75.

viết thêm chữ số 4 là cộng 400 rồi vẽ sơ đồ tổng và tỉ

Hai bạn học cùng lớp hay sao mà câu hỏi như nhau?

a)  Đặt \(a=\sqrt[3]{x+1},b=\sqrt[3]{x-1}\)    thì \(a+b=\sqrt[3]{5x}\). Lập phương hai vế cho ta 

\(5x=\left(a+b\right)^3=a^3+b^3+3ab\left(a+b\right)=2x+3\sqrt[3]{x^2-1}\cdot\sqrt[3]{5x}\)

\(\Rightarrow x=\sqrt[3]{5x\left(x^2-1\right)}\Leftrightarrow x^3=5x\left(x^2-1\right)\Leftrightarrow x=0\)  hoặc \(x^2=5\left(x^2-1\right)\).

Từ đây ta được nghiệm \(x=0,\frac{\pm\sqrt{5}}{2}\). 

b)  Đặt \(a=\sqrt[3]{x-7},b=\sqrt[3]{x-3}\)  thì \(a+b=6\sqrt{ab}\). Điều kiện \(ab\ge0.\) Ta chia ra hai trường hợp

 Trường hợp 1.  Nếu \(x\ge7\)  thì \(a,b\ge0\).  Chia

cả hai vế cho b, ta được \(\frac{a}{b}=3\pm2\sqrt{2}\) suy ra  \(\frac{\sqrt[3]{x-7}}{\sqrt[3]{x-3}}=3-2\sqrt{2}\)  (Nghiệm \(3+2\sqrt{2}>1>\frac{a}{b}\)).  Từ đó ta được \(x-7=\left(3-2\sqrt{2}\right)^2\left(x-3\right)\Leftrightarrow x-7=\left(17-12\sqrt{2}\right)\left(x-3\right)\Leftrightarrow x=\frac{11-9\sqrt{2}}{4-3\sqrt{2}}.\) (thỏa mãn)

Trường hợp 2. Nếu \(x\le3\)  thì \(a,b\le0.\) Chia cả hai vế cho b ta được \(\frac{a}{b}=-3\pm2\sqrt{2}\). Từ đó loại nghiệm vì a/b dương. 

Do đó phương trình có nghiệm duy nhất  \(x=\frac{11-9\sqrt{2}}{4-3\sqrt{2}}.\)

\(\sqrt{x+2+3\sqrt{2x-5}}+\sqrt{x-2-\sqrt{2x-5}}=2\sqrt{2}\)

=> \(\sqrt{2}.\sqrt{x+2+3\sqrt{2x-5}}+\sqrt{2}.\sqrt{x-2-\sqrt{2x-5}}=4\)

=> \(\sqrt{2x+4+6\sqrt{2x-5}}+\sqrt{2x-4-2\sqrt{2x-5}}=4\)

=>   \(\sqrt{\left(\sqrt{2x-5}\right)^2+2\sqrt{2x-5}.3+3^2}+\sqrt{\left(\sqrt{2x-5}\right)^2-2\sqrt{2x-5}.1+1}=4\)

=> \(\sqrt{\left(\sqrt{2x-5}+3\right)^2}+\sqrt{\left(\sqrt{2x-5}-1\right)^2}=4\)

Vậy điều kiên của phương trình là : 2x - 5 \(\ge\) 0 <=> x \(\ge\) 5/2. Khi đó, PT đã cho tương đương với

\(\left|\sqrt{2x-5}+3\right|+\left|\sqrt{2x-5}-1\right|=4\)

<=> \(\sqrt{2x-5}+3+\left|\sqrt{2x-5}-1\right|=4\)

+) Nếu \(\sqrt{2x-5}-1\ge0\Leftrightarrow2x-5\ge1\Leftrightarrow x\ge3\) thì phương tringf trở thành

\(\sqrt{2x-5}+3+\sqrt{2x-5}-1=4\)

<=> \(\sqrt{2x-5}=2\) <=> 2x - 5 = 4 <=> x = 4,5 ( Thỏa mãn)

+) Nếu \(0\le\sqrt{2x-5}<1\Leftrightarrow2,5\le x<3\) thì

\(\sqrt{2x-5}+3-\sqrt{2x-5}+1=4\)

<=> 4 = 4 Luôn đúng 

=> 2,5 \(\le\) x < 3 đều là nghiệm của PT

Vậy PT đã cho có nghiệm x = 4,5 ;  2,5 \(\le\) x < 3 

Đặt t = x² + x . Phương trình trở thành: 3t² - 2t - 1 = 0 

Nhận xét: 3 - 2 + (-1) = 0 nên phương trình có 2 nghiệm là t = 1 hoặc t  -1/3

+) t = 1 => x² + x = 1 <=> x² + x - 1 = 0 

\(\Delta\) = 5 => x₁ = \(\frac{-1+\sqrt{5}}{2}\); x₂ = \(\frac{-1-\sqrt{5}}{2}\)

+) t = -1/3 => 3x² + 3x + 1 = 0  (*)

\(\Delta\) = 9 - 12 = - 3 < 0 => pt (*) vô nghiệm 

Vậy PT đã cho có 2 nghiệm x₁ = ..; x₂ = ...

Áp dụng bất đẳng thức Bu- nhi -a ta có: 

(a + b)² \(\le\) 2. (a² + b²)  

=> (a + b)⁴ \(\le\) 4. (a² + b²)² = 4.\(\left(\sqrt{a}.a\sqrt{a}+\sqrt{b}.b\sqrt{b}\right)^2\le4.\left(\left(\sqrt{a}\right)^2+\left(\sqrt{b}\right)^2\right).\left(\left(a\sqrt{a}\right)^2+\left(b\sqrt{b}\right)^2\right)\)

= 4. (a + b) . (a³ + b³) 

=>  (a + b)⁴ \(\le\) 8.(a + b)

Vì a³ + b³ = (a + b). (a² - ab + b²) = 2 Mà a² - ab + b² > 0 nên a + b > 0 

Do đó, (a + b)³ \(\le\) 8 => a+ b \(\le\) 2

Dấu "=" khi a = b = 1

Vì 7 ko thể viết đc dưới dạng a² (a là số nguyên) nên căn 7 là số vô tỷ

Giả sử \(\sqrt{7}\) là số hữu tỉ =>  Đặt \(\sqrt{7}\) = a/ b ( Với a; b thuộc Z và a; b nguyên tố cùng nhau )

=> 7 = (a/b)² => a² = 7b² => a²  chia hết cho 7 => a chia hết cho 7 => a² chia hết cho 49 => a² = 49.k

=> 7b² = 49.k => b² = 7.k mà a² = 49.k

=> ƯCLN (a²; b²) chia hết cho 7, trái với giả sử vì a; b nguyên tố cùng nhau thì a² và b² nguyên tố cùng nhau

Vậy điều giả sử sai

=> \(\sqrt{7}\) là số vô tỉ

Vừa post xong

Lời giải như sau: Kí hiệu \(n!=1\cdot2\cdots n\)  là tích \(n\)  số nguyên dương đầu tiên. Khi đó ta sẽ có

Tử số bằng  \(\left(2\cdot1\right)\left(2\cdot3\right)\left(2\cdot5\right)\cdots\left(2\cdot\left(2n-1\right)\right)=2^n\cdot1\cdot3\cdot5\cdots\left(2n-1\right).\)

Mẫu số bằng \(\frac{\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right)\left(n+4\right)\left(n+5\right)\cdots\left(2n\right)}{\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right)\left(n+4\right)}=\frac{\left(2n\right)!}{n!}\cdot\frac{1}{\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right)\left(n+4\right)}\).

Suy ra \(a_n=\frac{2^n\cdot1\cdot3\cdot5\cdots\left(2n-1\right)}{\left(2n\right)!}\cdot n!\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right)\left(n+4\right)+1\)

\(=\frac{2^n\cdot n!}{\left(2\cdot1\right)\left(2\cdot2\right)\cdots\left(2\cdot n\right)}\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right)\left(n+4\right)+1=\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right)\left(n+4\right)+1\).

Cuối cùng ta có  \(a_n=\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right)\left(n+4\right)+1\)

\(=\left(n^2+5n+4\right)\left(n^2+5n+6\right)+1=y\left(y+2\right)+1=\left(y+1\right)^2\)

ở đó \(y=n^2+5n+4\) là số nguyên. Vậy \(a_n\) là số chính phương.