a, \(\Leftrightarrow\left(x+1+x-2\right)\left[\left(x+1\right)^2-\left(x+1\right)\left(x-2\right)+\left(x-2\right)^2\right]-\left(2x-1\right)^3=0\)

\(\Leftrightarrow\left(2x-1\right)\left(x^2+2x+1-x^2+x+2+x^2-4x+4\right)-\left(2x-1\right)^3=0\)

\(\Leftrightarrow\left(2x-1\right)\left(x^2-x+7-\left(2x-1\right)^2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(2x-1\right)\left(x^2-x+7-4x^2+4x-1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(2x-1\right)\left(-3x^2+3x+6\right)=0\)

\(\Leftrightarrow-3\left(2x-1\right)\left(x^2-x-2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(2x-1\right)\left(x+1\right)\left(x-2\right)=0\)

=>x=1/2 hoặc x=-1 hoặc x=2

Vậy pt có tập nghiệm là S={1/2;-1;2}

b, \(x^4=24x+32\Leftrightarrow x^4-24x-32=0\)

\(\Leftrightarrow x^4-2x^3-4x^2+2x^3-4x^2-8x+8x^2-16x-32=0\)

\(\Leftrightarrow x^2\left(x^2-2x-4\right)+2x\left(x^2-2x-4\right)+8\left(x^2-2x-4\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2-2x-4\right)\left(x^2+2x+8\right)=0\)

\(\Leftrightarrow x^2-2x-4=0\) (vì x^2+2x+8 > 0)

\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)^2-5=0\Leftrightarrow\left(x-1\right)^2=5\Leftrightarrow x-1=\pm\sqrt{5}\Leftrightarrow x=1\pm\sqrt{5}\)

Vậy...

c, \(\left(x-6\right)^4+\left(x-8\right)^4=16\)

Đặt x-6=t => x-8=t-2

Ta có: \(t^4+\left(t-2\right)^4=16\Leftrightarrow t^4+t^4-8t^3+24t^2-32t+16=16\)

\(\Leftrightarrow2t^4-8t^3+24t^2-32t=0\Leftrightarrow t^4-4t^3+12t^2-16t=0\)

\(\Leftrightarrow t^4-2t^3-2t^3+4t^2+8t^2-16t=0\)

\(\Leftrightarrow t^3\left(t-2\right)-2t^2\left(t-2\right)+8t\left(t-2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(t-2\right)\left(t^3-2t^2+8t\right)=0\Leftrightarrow\left(t-2\right)t\left(t^2-2t+8\right)=0\)

Mà t^2-2t+8=(t-1)^2+7 > 0

\(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}t-2=0\\t=0\end{cases}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x-6-2=0\\x-6=0\end{cases}\Leftrightarrow}\orbr{\begin{cases}x=8\\x=6\end{cases}}}\)

Vậy...

Gọi số cần tìm là \(\overline{abcde}\)

Ta có: \(\overline{7abcde}=5.\overline{abcde7}\)

\(\Leftrightarrow700000+\overline{abcde}=5.\left(10.\overline{abcde}+7\right)\)

\(\Leftrightarrow700000+\overline{abcde}=50.\overline{abcde}+35\)

\(\Leftrightarrow\overline{abcde}=14285\)

Gọi số bé là a thì số lớn là 40 - a

Ta có: \(11a=40-a+4\)

\(\Leftrightarrow11a=44-a\Leftrightarrow12a=44\Leftrightarrow a=\frac{11}{3}\)

Số bé là \(\frac{11}{3}\)

Số lớn là: \(40-\frac{11}{3}=\frac{109}{3}\)

\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=0\Rightarrow\frac{yz+xy+xz}{xyz}=0\)\(\Rightarrow xy+yz+xz=0\)

Ta có : x² + 2yz = x² + yz + ( - xy - xz ) = x ( x - y ) - z ( x - y ) = ( x - z ) ( x - y )

Tương tự : y² + 2xz = ( y - x ) ( y - z ) ; z² + 2xy = ( z - x ) ( z - y )

Ta có : \(A=\frac{yz}{\left(x-z\right)\left(x-y\right)}+\frac{xz}{\left(y-x\right)\left(y-z\right)}+\frac{xy}{\left(z-x\right)\left(z-y\right)}\)

\(A=\frac{yz\left(y-z\right)-xz\left(x-z\right)+xy\left(x-y\right)}{\left(x-y\right)\left(y-z\right)\left(x-z\right)}\)

\(A=\frac{yz\left(y-z\right)-xz\left(y-z+x-y\right)+xy\left(x-y\right)}{\left(x-y\right)\left(y-z\right)\left(x-z\right)}\)

\(A=\frac{\left(x-y\right)\left(y-z\right)\left(x-z\right)}{\left(x-y\right)\left(y-z\right)\left(x-z\right)}=1\)

2. Goi tổ này là tổ 1, tổ kia là tổ 2

Gọi thời gian để tổ 1 và tổ 2 làm riêng để xong công việc là a và b (h) (a;b > 0)

Theo bài ra: b = a + 5 

1h tổ 1 làm được \(\frac{1}{a}\) (công việc)

Nên 4h tổ 1 làm được \(\frac{4}{a}\) (công việc)

4 h tổ 2 làm được \(\frac{4}{b}\) (công việc)

Ta có: \(\frac{4}{a}+\frac{4}{b}=\frac{2}{3}\Leftrightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{6}\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{5+a}=\frac{1}{6}\)

\(\Leftrightarrow\frac{5+2a}{a\left(5+a\right)}=\frac{1}{6}\Rightarrow30+12a=a^2+5a\)

\(\Leftrightarrow a^2-7a-30=0\Leftrightarrow\left(a-10\right)\left(a+3\right)=0\Leftrightarrow a=10\)(vì a > 0)

b = a + 5 = 10 + 5 = 15

Tổ 1 làm xong trong 10 h và tổ 2 làm xong trong 15 h

1. Áp dụng bất đẳng thức \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\) với \(a=x^3+3xy^2,b=y^3+3x^2y\) (a;b > 0)

(Bất đẳng thức này a;b > 0 mới dùng được)

\(A\ge\frac{4}{x^3+3xy^2+y^3+3x^2y}=\frac{4}{\left(x+y\right)^3}\ge\frac{4}{1^3}=4\)

Dấu "=" xảy ra khi: \(\hept{\begin{cases}x^3+3xy^2=y^3+3x^2y\\x+y=1\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x^3-3x^2y+3xy^2-y^3=0\\x+y=1\end{cases}}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\left(x-y\right)^3=0\\x+y=1\end{cases}}\Leftrightarrow x=y=\frac{1}{2}\)