Từ giả thiết ta có: \(\left(x-1\right)\left(x-2\right)\le0\Rightarrow x^2\le3x-2\). Tương tự \(y^2\le3y-2\)

Từ đây ta có: \(A\ge\frac{x+2y}{3\left(x+y+1\right)}+\frac{y+2x}{3\left(x+y+1\right)}+\frac{1}{4\left(x+y-1\right)}\)

\(=\frac{x+y}{x+y+1}+\frac{1}{4\left(x+y-1\right)}\). Đặt \(t=x+y\Rightarrow2\le t\le4\)

Ta sẽ tìm min của \(A=\frac{t}{t+1}+\frac{1}{4\left(t-1\right)}\) với \(2\le t\le4\). Đến đây vẫn chưa mừng được vì ko thể dùng miền giá trị!Ta sẽ chứng minh A \(\le\frac{7}{8}\). Thật vậy: \(A-\frac{7}{8}=\frac{t}{t+1}-\frac{3}{4}+\frac{1}{4\left(t-1\right)}-\frac{1}{8}\)

\(=\frac{t-3}{4\left(t+1\right)}-\frac{t-3}{8\left(t-1\right)}=\frac{4\left(t-3\right)^2}{32\left(t+1\right)\left(t-1\right)}\ge0\). Do đó...

Đẳng thức xảy ra khi (x;y) = (2;1) và các hoán vị của nó!

P/s: Nhớ check xem em có quy đồng sai chỗ nào không:v

Ấy nhầm:v "Ta sẽ chứng minh \(A\ge\frac{7}{8}\)" Thế này mới đúng nha, đánh lanh tay quá nên nhầm:)))

\(x^2+y^2+2x-2y+10\)

\(=\left(x^2+2x+1\right)+\left(y^2-2y+1\right)+8\)

\(=\left(x+1\right)^2+\left(y-1\right)^2+8\)

\(\left(x^2+2x+1\right)+\left(y^2+2y+1\right)+8\)

\(\left(x+1\right)^2+\left(y+1\right)^2+\sqrt{8^2}\)

\(\left(x+y+2+\sqrt{8}\right)^2-2\left\{\left(x+1\right)\left(y+1\right)+\left(y+1\right)\sqrt{8}+\sqrt{8}\left(x+1\right)\right\}\)

\(43^{101}+23^{101}=43\cdot43^{100}+23\cdot23^{100}=\left(66-23\right)\cdot43^{100}+23\cdot23^{100}\)

\(=66\cdot43^{100}-23\cdot43^{100}+23\cdot23^{100}=66\cdot43^{100}-23\left(43^{100}-23^{100}\right)\)

\(=66\cdot43^{100}-23\left(43-23\right)\left(43^{99}+43^{98}\cdot23+43^{97}\cdot23^2+43^{96}\cdot23^3+...+43\cdot23^{98}+23^{99}\right)\)

\(=66\cdot43^{100}-23\cdot20\left(43^{98}\left(43+23\right)+43^{96}\cdot23^2\left(43+23\right)+...+23^{98}\left(43+23\right)\right)\)

\(=66\cdot43^{100}-460\left(4^{98}\cdot66+4^{96}\cdot23^2\cdot66+...+23^{98}\cdot66\right)\)

\(=66\cdot43^{100}-460\cdot66\left(4^{98}+4^{96}\cdot23^2+...+23^{98}\right)\)

\(=66\left(43^{100}-460\left(4^{98}+4^{96}\cdot23^2+...+23^{98}\right)\right)⋮66\Rightarrow43^{100}+23^{100}⋮66\)(đpcm)

cái chỗ \(43^{100}-23^{100}=\left(43-23\right)\left(43^{99}+43^{98}\cdot23+43^{97}\cdot23^2+43^{96}\cdot23^3+...+43\cdot23^{98}+23^{99}\right)\)

là áp dụng hđt \(a^n-b^n=\left(a-b\right)\left(a^{n-1}+a^{n-2}b+a^{n-3}b^2+a^{n-4}b^3+...+b^{n-1}\right)\)

A B C D H M K N

Lấy trung điểm N của đoạn BH.

Thấy ngay MN là đường trung bình tam giác AHB => MN // AB và MN=1/2.AB

Mà: CD=AB; DK=CK=1/2.CD; K thuộc CD và CD // AB

Suy ra: MN//CK và MN=CK  => Tứ giác MNCK là hình bình hành => MK // CN (1)

Ta có: MN // AB, AB vuông BC => MN vuông BC (Quan hệ //, vuông góc)

Xét tam giác BMC: BH vuông MC; MN vuông BC; N thuộc BH

=> N là trực tâm tam giác BMC => CN vuông BM (2)

Từ (1) và (2) => BM vuông MK (đpcm).

\(A=\frac{b^3-3b^2c+3bc^2-c^3+c^3-3c^2a+3ca^2-a^3+a^3-3a^2b+3ab^2-b^3}{a^2b-a^2c+b^2c-ab^2+c^2a-bc^2}\)

\(=\frac{-3b^2c+3bc^2-3c^2a+3ca^2-3a^2b+3ab^2}{b^2c-bc^2+c^2a-ac^2+a^2b-ab^2}\)

\(=\frac{-3\left(b^2c-bc^2+c^2a-ca^2+a^2b-ab^2\right)}{b^2c-bc^2+c^2a-ca^2+a^2b-ab^2}=-3\)

\(C=\frac{\left(x+y+z\right)\left(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx\right)}{x^2-2xy+y^2+y^2-2yz+z^2+z^2-2zx+x^2}\)

\(=\frac{\left(x+y+z\right)\left(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx\right)}{2\left(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx\right)}=\frac{x+y+z}{2}\)

P/s: bài b sai đề thì pải

cám ơn bạn nhé

Ta có: \(\widehat{BAC}-\widehat{BAE}=360^0-120^0=240^0\)

Mà \(\widehat{BAE}+\widehat{FDA}+\widehat{DBA}=240^0\)

\(\widehat{BAE}+\widehat{FDB}=240^0\)

\(\Rightarrow\widehat{BAC}=\widehat{FDB}\)

CM: tam giác FBD = tam giác CAB  

Rồi tiếp tục CM: tam giác FEC = tam giác BAC . Rồi suy ra ĐPCM