giả sử P đạt GTNN khi a=x, b=y; c=z. khi đó ta có:

x,y,z>0 và 4x+3y+4z=22

ta thấy với a=x; b=y; c=z thì 

\(\frac{1}{3a}=\frac{1}{3x}=\frac{1}{3x^2};\frac{2}{b}=\frac{2}{y}=\frac{2}{y^2},\frac{3}{c}=\frac{3}{z}=\frac{3}{z^2}\)

do đó, các đánh giá sau sẽ đảm bảo được điều kiện đẳng thức

\(\hept{\begin{cases}\frac{1}{3a}+\frac{a}{3x^2}\ge2\sqrt{\frac{1}{3a}\cdot\frac{a}{3a^2}}=\frac{2}{3x}\\\frac{2}{b}+\frac{2b}{y^2}\ge2\sqrt{\frac{2}{b}\cdot\frac{2b}{y^2}}=\frac{4}{y}\\\frac{3}{c}+\frac{3c^2}{z}\ge2\sqrt{\frac{3}{c}\cdot\frac{3c}{z^2}}=\frac{6}{z}\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\frac{1}{3a}\ge\frac{2}{3x}-\frac{a}{3x^2};\frac{2}{b}\ge\frac{4}{y}-\frac{2b}{y^2};\frac{3}{c}\ge\frac{6}{z}-\frac{3c}{z^2}\)

và như vậy, ta đã chuyển được các phân thức về dạng bậc nhất và thu được

\(P\ge a+b+c+\left(\frac{2}{3x}-\frac{a}{3x^2}\right)+\left(\frac{4}{y}-\frac{2b}{y^2}\right)+\left(\frac{6}{z}-\frac{3c}{z^2}\right)\)

\(=\left(1-\frac{1}{3x^2}\right)a+\left(1-\frac{2}{y^2}\right)b+\left(1-\frac{3}{z^2}\right)c+\frac{2}{3x}+\frac{4}{y}+\frac{6}{z}\)

vấn đề còn lại là ta phải chọn các số x,y,z thích hợp làm sao để có thể sử dụng được giả thiếu 4a+3b+4c=22

muốn vậy các hệ số của a,b,c trong đánh giá trên phải thành lập tỉ lệ 4:3:4 tức là

\(\frac{1-\frac{1}{3x^2}}{4}=\frac{1-\frac{1}{y^2}}{3}=\frac{1-\frac{3}{z^2}}{4}\)

vậy điểm rơi thực sự của bài toán chình là nghiệm của hệ phương trình \(\hept{\begin{cases}4x+3y+4z=22\\\frac{1-\frac{1}{3x^2}}{4}=\frac{1-\frac{2}{y^2}}{3}=\frac{1-\frac{3}{z^2}}{4}\end{cases}\left(1\right)}\)

giải hệ này ta tìm được x=1; y=2; z=3. khi đó ta có:

\(P\ge\left(1-\frac{1}{3}\right)a+\left(1-\frac{2}{2^2}\right)b+\left(1-\frac{3}{3^2}\right)c+\frac{2}{3}+\frac{4}{2}+\frac{6}{3}\)

\(=\frac{4a+3b+4c}{6}+\frac{14}{3}=\frac{22}{6}+\frac{14}{3}=\frac{25}{3}\)

đẳng thức xảy ra khi a=x=1; b=y=2 và c=z=3

Sorry, em mới học lớp 7 thôi😅

Thay x=-1 vào (*), ta được:

\(-m^2+4=2m+4\)

\(\Leftrightarrow-m^2-2m=4-4\)

\(\Leftrightarrow-m\left(m+2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow-m=0\)hoặc \(m+2=0\)

\(\Leftrightarrow m=0\)hoặc \(m=-2\)

Vậy khi m = 0, m = -2 thì (*) có nghiệm duy nhất là x = -1

Đặt: \(A=2x^2+5x+4\)

\(2A=4x^2+10x+8\)

\(2A=4x^2+10x+\frac{25}{4}+\frac{7}{4}\)

\(2A=\left(2x+\frac{5}{2}\right)^2+\frac{7}{4}\ge\frac{7}{4}\)

\(A\ge\frac{7}{8}\rightarrow M\le\frac{5}{\frac{7}{8}}=\frac{40}{7}\)

Pt có nghiệm x = 2 tức là 

\(\left(m^2-1\right).2^2+2\left(m-1\right)-3m^2+m=0\)

\(\Leftrightarrow4m^2-4+2m-2-3m^2+m=0\)

\(\Leftrightarrow m^2+3m-6=0\)

\(\Delta=33>0\Rightarrow x=\frac{-3\pm\sqrt{33}}{2}\)

Thử lại (tự thử)

Nhầm , cái kết quả là m = ... chứ ko phải x nhá

\(M=4-5x-4x^2\)

      \(=-\left(4x^2+5x-4\right)\)

       \(=-\left(4x^2+4x+1-5\right)\)

       \(=-\left[\left(2x+1\right)^2-4\right]\)

         \(=-\left(2x+1\right)^2+4\)

Vì \(-\left(2x+1\right)^2\le0\)với mọi x

\(\Rightarrow-\left(2x+1\right)^2+4\le4\)với mọi x

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\left(2x+1\right)^2=0\) 

                          \(\Leftrightarrow2x+1=0\)

                         \(\Leftrightarrow x=\frac{-1}{2}\)

Vậy max M=4 khi \(x=-\frac{1}{2}\)

\(f\left(x\right)=\left(x-a\right)\left(x-b\right)\left(x-c\right)\)

\(=\left(x^2-ax-bx+ab\right)\left(x-c\right)\)

\(=x^3-\left(a+b+c\right)x^2+\left(ab+bc+ca\right)x+abc\)

\(=x^3+\left(ab+bc+ca\right)x+abc\)

\(-f\left(-x\right)=-\left[\left(-x-a\right)\left(-x-b\right)\left(-x-c\right)\right]\)

\(=-\left[\left(x^2+ax+bx+ab\right)\left(-x-c\right)\right]\)

\(=-\left[-x^3-\left(a+b+c\right)x^2-\left(ab+bc+ca\right)x-abc\right]\)

\(=-\left[-x^3-\left(ab+bc+ca\right)x-abc\right]\left(a+b+c=0\right)\)

\(=x^3+\left(ab+bc+ca\right)x+abc\)

Sửa đề:

\((2x^2+x-2015)^2+4(x^2-5x-2016)^2=4(2x^2+x-2015)(x^2-5x-2016)\)

\(\Rightarrow\left(2x^2+x-2015\right)^2-2.\left(2x^2+x-2015\right).2.\left(x^2-5x-2016\right)+[2.\left(x^2-5x-2016\right)]^2=0\)

\(\Rightarrow[2x^2+x-2015-2.\left(x^2-5x-2016\right)]^2=0\)

\(\Rightarrow11x+2017=0\)

\(\Rightarrow x=\frac{-2017}{11}\)