Điều kiện bạn tự làm

\(x+y+z+11=2\sqrt{x}+4\sqrt{y-1}+6\sqrt{z-2}\)

\(\Leftrightarrow\left(x-2\sqrt{x}+1\right)+\left(y-1-4\sqrt{y-1}+4\right)+\left(z-2-6\sqrt{z-2}+9\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{x}-1\right)^2+\left(\sqrt{y-1}-2\right)^2+\left(\sqrt{z-2}-3\right)^2=0\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=1\\y=5\\z=11\end{cases}}\)

Đầu tiên bạn thế \(a=b=2\) thử xem sao đi nhé.

lúc đầu mk bảo đề sai nhưng thầy kt lại vẫn đúng

Tìm min hay tìm max thế? Max thì làm gì có.

nhưng đề bảo thế

\(=\left(\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)}-\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)}\right)\left(\sqrt{ab}\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)\right)\)

\(=\frac{a-b}{\sqrt{ab}\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)}\cdot\left(\sqrt{ab}\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)\right)\)

\(=a-b\)

\(\left(\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{ab}-b}+\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{ab}-a}\right)\cdot\left(a\sqrt{b}-b\sqrt{a}\right)\)

\(=\left(\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)}-\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)}\right)\cdot\left[\sqrt{ab}\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)\right]\)

\(=\frac{a-b}{\sqrt{ab}\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)}\cdot\left[\sqrt{ab}\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)\right]\)

\(=\frac{a-b}{1}=a-b\)

bài này còn 1 tý bựa bựa nữa bạn à,,,, tui sợ x ko chính phương

từ giả thiết: \(x+y\le xy\le\frac{\left(x+y\right)^2}{4}\)(theo BĐT AM-GM)

\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)\left(x+y-4\right)\ge0\)mà x,y dương nên \(x+y\ge4\)

ta có:\(16P\le\left(x+y\right)^2\left(\frac{1}{5x^2+7y^2}+\frac{1}{5y^2+7x^2}\right)\)

Áp dụng BĐT cauchy-schwarz theo chiều ngược lại:

\(\frac{\left(x+y\right)^2}{5x^2+7y^2}\le\frac{x^2}{3\left(x^2+y^2\right)}+\frac{y^2}{2\left(x^2+2y^2\right)}\)

\(\frac{\left(x+y\right)^2}{5y^2+7x^2}\le\frac{y^2}{3\left(x^2+y^2\right)}+\frac{x^2}{2\left(y^2+2x^2\right)}\)

\(\Rightarrow\left(x+y\right)^2\left(\frac{1}{5x^2+7y^2}+\frac{1}{5y^2+7x^2}\right)\le\frac{x^2+y^2}{3\left(x^2+y^2\right)}+\frac{x^2}{2\left(y^2+2x^2\right)}+\frac{y^2}{2\left(x^2+2y^2\right)}\)(*)

xét \(\frac{x^2}{y^2+2x^2}+\frac{y^2}{x^2+2y^2}=2-\frac{x^2+y^2}{y^2+2x^2}-\frac{x^2+y^2}{x^2+2y^2}=2-\left(x^2+y^2\right)\left(\frac{1}{y^2+2x^2}+\frac{1}{x^2+2y^2}\right)\)

Áp dụng BĐT cauchy:\(\frac{1}{y^2+2x^2}+\frac{1}{x^2+2y^2}\ge\frac{4}{3\left(x^2+y^2\right)}\)

do đó \(\frac{x^2}{y^2+2x^2}+\frac{y^2}{x^2+2y^2}\le2-\frac{4}{3}=\frac{2}{3}\)

kết hợp với (*):\(16VT\le\frac{1}{3}+\frac{1}{2}.\frac{2}{3}=\frac{2}{3}\)

\(VT\le\frac{1}{24}\)

Dấu = xảy ra khi x=y=2

tưởng giá trị nhỏ nhất chứ