Bài 1:

Gọi E là giao điểm của phân giác AD với MN.

Qua E, kẻ đoạn thẳng IJ vuông góc với AD \(\left(I\in AB,J\in AC\right)\)

Gọi H là điểm đối xứng với M qua AD.

Ta thấy rằng \(\widehat{MEI}=\widehat{HEJ}\Rightarrow\widehat{HEJ}=\widehat{JEN}\) hay EJ là phân giác trong góc NEH.

Do \(EJ\perp EA\) nên EA là phân giác ngoài tại đỉnh E của tam giác NEH.

Theo tính chất tia phân giác trong và ngoài của tam giác, ta có:

\(\frac{NJ}{HJ}=\frac{EN}{EH}=\frac{AN}{AH}\Rightarrow\frac{\overline{NJ}}{\overline{NA}}:\frac{\overline{HJ}}{\overline{HA}}=-1\Rightarrow\left(AJNH\right)=-1\)

Áp dụng hệ thức Descartes, ta có \(\frac{2}{AJ}=\frac{1}{AH}+\frac{1}{AN}=\frac{1}{AM}+\frac{1}{AN}=\frac{3}{a}\)

\(\Rightarrow AJ=\frac{2a}{3}\)

Vậy J cố định, mà AD cố định nên IJ cũng cố định. Vậy thì E cũng cố định.

\(AJ=\frac{2a}{3}\Rightarrow AE=\frac{2.AD}{3}\) hay E là trọng tâm tam giác ABC.

Tóm lại MN luôn đi qua trọng tâm tam giác ABC.

giúp em vs CMR với mọi a,b,c ta có (a^2+2)(b^2+2)(c^2+2)>= 3(a+b+c)^2

pt <=> (x^5-x^4)-(4x^4-4x^3)+(4x^2-4x)-(x-1) = 0

<=> (x-1).(x^4-4x^3+4x-1) = 0

<=> (x-1).[(x^4-x^3)-(3x^3-3x)+(x-1)] = 0

<=> (x-1).(x-1).(x^3-3x^2-3x+1) = 0

<=>(x-1)^2.[(x^3+x^2)-(4x^2+4x)+(x+1)] = 0

<=> (x-1)^2.(x+1).(x^2-4x+1) = 0

<=> x-1=0 hoặc x+1=0 hoặc x^2-4x+1=0

<=> x=1 hoặc x=-1 hoặc x=2+\(\sqrt{3}\)hoặc x = 2-\(\sqrt{3}\)

k mk nha

Bạn nhóm có nhân tử (x-1) là đc

Đk x\(\ge\)1995

Nhận thấy: \(\sqrt{x-1994}\)và \(\sqrt{x-1995}\ge0\)Với mọi x\(\ge\)1995

Để M đạt giá trị nhỏ nhất => \(\sqrt{x-1995}=0=>x=1995\)

=> GTNN của M là: M=1 đạt được khi x=1995