Giả sử \(A\) có thể viết thành tích của hai số tự nhiên liên tiếp.

Do đó \(A\) có dạng \(A=n\left(n+1\right)\) với \(n\in N\)

Hay \(3^{2013}+1=n\left(n+1\right)\Leftrightarrow3^{2013}+1=n^2+n\)

\(\Leftrightarrow4\left(3^{2013}+1\right)+1=4n^2+4n+1\)

\(\Leftrightarrow4.3^{2013}+5=\left(2n+1\right)^2\Leftrightarrow3\left(4.3^{2012}+1\right)+2=\left(2n+1\right)^2\) (*)

Vì \(3\left(4.3^{2012}+1\right)+2\) chia 3 dư 2. Mà \(\left(2n+1\right)^2\) là số chính phương nên chia 3 chỉ dư \(0;1\)

Do đó (*) vô lý . Vậy \(A\)không thể viết thành tích của hai số tự nhiên liên tiếp.

a/ \(\left(5x+1\right)^2=\left(3x-2\right)^2\)

<=> \(\left(5x+1\right)^2-\left(3x-2\right)^2=0\)

<=> \(\left(5x+1-3x+2\right)\left(5x+1+3x-2\right)=0\)

<=> \(\left(2x+3\right)\left(8x-3\right)=0\)

<=> \(\orbr{\begin{cases}2x+3=0\\8x-3=0\end{cases}}\)<=> \(\orbr{\begin{cases}x=-\frac{3}{2}\\x=\frac{3}{8}\end{cases}}\)

a ) 

\(\left(5x+1\right)^2=\left(3x-2\right)^2\)

\(\Rightarrow\left(5x\right)^2+2.5x.1+1=\left(3x\right)^2-2.3x.2+2^2\)

\(\Rightarrow25x^2+10x+1=9x^2-12x+4\)

\(\Rightarrow25x^2+10x+1-9x^2+12x-4=0\)

\(\Rightarrow16x^2+22x-3=0\)

\(\Rightarrow\left(4x\right)^2+2.4x.2,75+\left(2,75\right)^2-10,5625=0\)

\(\Rightarrow\left(4x+2,75\right)^2=10,5625\)

\(\Rightarrow4x+2,75=3,25\)

\(\Rightarrow4x=0,5\)

\(\Rightarrow x=0,125\)

Vậy \(x=0,125\)

\(\left(5n-1\right)\left(n+3\right)-9n+3=5n^2+15n-n-3-9n+3=5n^2+5n=5n\left(n+1\right)⋮5\)

Mà n(n+1) là tích 2 số nguyên liên tiếp => \(n\left(n+1\right)⋮2\)

\(\Rightarrow5n\left(n+1\right)⋮5.2=10\) (đpcm)

\(\left(5n-1\right)\left(n+3\right)-9n+3\)

\(=5n^2+15n-n-3-9n+3\)

\(=5n^2+5n=5n\left(n+1\right)⋮5\)

Lại có \(n\left(n+1\right)⋮2\)

\(\Rightarrow5n^2+5n⋮\left(2.5\right)=10\)

\(\RightarrowĐPCM\)

\(A=\frac{2x-1}{x+2}\)

Để A \(\in\)\(ℤ\)thì \(2x-1\) \(⋮\)\(x+2\) ; \(x+2\) \(\ne\)0; \(2x-1,x+2\inℤ\)

Ta có: \(2x-1=2\left(x+2\right)-5\)

Vì \(2\left(x+2\right)⋮x+2\)

nên để \(2x-1⋮x+2\)

thì \(5⋮x-2\)

=> \(x-2\in\left\{\pm1;\pm5\right\}\)

Ta có bảng sau:

Vì \(x\inℤ\)=>\(x\in\left\{1;\pm3;7\right\}\)

Còn 2 ý còn lại làm tương tự như ý này

Xét \(x=-1;0\) đều thỏa mãn 

Xét \(x>0\)ta có \(x^{2018}>0;\left(x+1\right)^{2018}>1\Rightarrow x^{2018}+\left(x+1\right)^{2018}>1\)(loại)

Xét \(x< -1\) ta có \(x^{2018}>1;\left(x+1\right)^{2018}>0\Rightarrow x^{2018}+\left(x+1\right)^{2018}>1\) (loại)

Xét \(-1< x< 0\) ta có : \(x^{2008}< -x;\left(x+1\right)^{2018}< -x+1\Rightarrow x^{2008}+\left(x+1\right)^{2018}< 1\) (loại)

Vậy \(PT\) có 2 nghiệm là \(x=-1\) và \(x=0\)

minh la WHY

vay con truong hop 0<x<1 dau