a) sửa đề:  \(a^2+b^2\ge\frac{1}{2}\left(a+b\right)^2\)

\(\Leftrightarrow2\left(a^2+b^2\right)\ge\left(a+b\right)^2\)

\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2-a^2-2ab-b^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\)  (luôn đúng)

Đẳng thức xảy ra  \(\Leftrightarrow\)  a = b

b) Đề hỏi gì vậy bn?

sịt cái đề sai hết

Áp dụng BĐT Cauhy-Schwarz ta có:

\(A=x^4+y^4+z^4\ge\frac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{3}\)

\(\ge\frac{\left(\frac{x+y+z}{3}\right)^2}{3}=\frac{\frac{1}{9}}{3}=\frac{1}{27}\)

Xảy ra khi x=y=z=1/3

Đặt \(x=\sqrt{\frac{b}{a}};y=\sqrt{\frac{c}{b}};z=\sqrt{\frac{a}{c}}\) thì \(xyz=1\) và BĐT cần chứng minh là 

\(\sqrt{\frac{2}{x^2+1}}+\sqrt{\frac{2}{y^2+1}}+\sqrt{\frac{2}{z^2+1}}\le3\)

Giả sử \(x\le y\le z\Rightarrow\hept{\begin{cases}xy\le1\\z\ge1\end{cases}}\) ta có:

\(\left(\sqrt{\frac{2}{x^2+1}}+\sqrt{\frac{2}{y^2+1}}\right)^2\le2\left(\frac{2}{x^2+1}+\frac{2}{y^2+1}\right)\)

\(=4\left[1+\frac{1-x^2y^2}{\left(x^2+1\right)\left(y^2+1\right)}\right]\)

\(\le4\left[1+\frac{1-x^2y^2}{\left(xy+1\right)^2}\right]=\frac{8}{xy+1}=\frac{8z}{z+1}\)

\(\Rightarrow\sqrt{\frac{2}{x^2+1}}+\sqrt{\frac{2}{y^2+1}}\le2\sqrt{\frac{2z}{z+1}}\)

Nên còn phải chứng minh \(2\sqrt{\frac{2z}{z+1}}+\frac{2}{z+1}\le3\)

\(\Leftrightarrow1+3z-2\sqrt{2z\left(z+1\right)}\ge0\Leftrightarrow\left(\sqrt{2z}-\sqrt{z+1}\right)^2\ge0\)

BĐT cuối đúng hay ta có ĐPCM

\(B=\sqrt{-x^2+2x+2}=\sqrt{-x^2+2x-1+3}\)

\(=\sqrt{-\left(x^2-2x+1\right)+3}\)

\(=\sqrt{-\left(x-1\right)^2+3}\le\sqrt{3}\)

Xảy ra khi x=1

Ta có \(-x^2+2x+2\)=\(-\left(x^2-2x+1-3\right)\)=\(3-\left(x-1\right)^2\le3\)

       Dấu '=' xảy ra \(\Leftrightarrow x=1\)

Do đó MaxB=\(\sqrt{3}\)(Dấu '=' xảy ra \(\Leftrightarrow x=1\))

\(< =>\sqrt{\left(\sqrt{\frac{5}{2}}+\sqrt{\frac{1}{2}}\right)^2}-\sqrt{\left(\sqrt{\frac{5}{2}}-\sqrt{\frac{1}{2}}\right)^2}=\sqrt{2}\)

\(< =>\sqrt{\frac{5}{2}}+\sqrt{\frac{1}{2}}-\sqrt{\frac{5}{2}}+\sqrt{\frac{1}{2}}=\sqrt{2}\)

\(< =>2\sqrt{\frac{1}{2}}=\sqrt{2}\)

\(< =>\sqrt{2}=\sqrt{2}\left(đúng\right)\)

Ta có VT =\(\sqrt{3+\sqrt{5}}-\sqrt{3-\sqrt{5}}\)=\(\frac{\sqrt{6+2\sqrt{5}}}{\sqrt{2}}-\frac{\sqrt{6-2\sqrt{5}}}{\sqrt{2}}\)

=\(\frac{\sqrt{\left(\sqrt{5}+1\right)^2}}{\sqrt{2}}-\frac{\sqrt{\left(\sqrt{5}-1\right)^2}}{\sqrt{2}}\)=\(\frac{\sqrt{5}+1-\sqrt{5}+1}{\sqrt{2}}=\frac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}\)=VT

Vậy đẳng thức được chứng minh

\(A=\sqrt{x^2-2x+5}=\sqrt{x^2-2x+1+4}\)

\(=\sqrt{\left(x-1\right)^2+4}\ge\sqrt{4}=2\)

Đẳng thức xảy ra khi x=1

Ta có  x\(^2\)- 2x +5 

= x\(^2\)- 2x 1 + 1 +4

= (x-1)\(^2\)+ 4 >= 4 với mọi x

hay x\(^2\)- 2x + 5 >= 4 với mọi x

   => \(\sqrt{x^2-2x+5}\)>= 2

 Vậy min A=2 <=> x-1=0

                     <=> x=1