a

Hiển nhiên \(P=4^{2010}+2^{2014}⋮2\). Ta chỉ cần chứng minh \(P⋮5\) là xong.

Trước hết ta chứng minh \(A=4^{2n}-1⋮5\), với mọi \(n\inℕ\)     (*)

 Với \(n=0\) thì \(A=0⋮5\). Với \(n=1\) thì \(A=15⋮5\).

 Giả sử (*) đúng đến \(n=k\). Với \(n=k+1\), ta có:

 \(A=4^{2\left(k+1\right)}-1\) \(=16.4^{2k}-1\) \(=16\left(4^{2k}-1\right)+15⋮5\), vậy (*) được chứng minh. Do đó \(4^{2010}-1⋮5\)              (1)

 Bây giờ ta sẽ chứng minh \(B=2^{4n+2}+1⋮5\) với mọi \(n\inℕ\).     (**)

 Với \(n=0\) thì \(B=5⋮5\). Với \(n=1\) thì \(B=65⋮5\).

 Giả sử (**) đúng đến \(n=k\). Với \(n=k+1\)  thì

 \(B=2^{4\left(k+1\right)+2}+1\) \(=16.2^{4k+2}+1\) \(=16\left(2^{4k+2}+1\right)-15⋮5\)

 Vậy (**) được chứng minh. Do đó \(2^{2014}+1⋮5\)         (2)

 Từ (1) và (2), suy ra \(P=4^{2010}+2^{2014}=\left(4^{2010}-1\right)+\left(2^{2014}+1\right)⋮5\)

 Như vậy \(2|P,5|P\Rightarrow10|P\) (đpcm)

\(A=\left(2x-1\right)^4+3\)

mà \(\left(2x-1\right)^4\ge0,\forall x\)

\(\Rightarrow A=\left(2x-1\right)^4+3\ge0+3=3\)

\(\Rightarrow GTNN\left(A\right)=3\left(x=\dfrac{1}{2}\right)\)

\(B=-\left(8x-\dfrac{4}{5}\right)^6+1\)

mà \(-\left(8x-\dfrac{4}{5}\right)^6\le0,\forall x\)

\(\Rightarrow B=-\left(8x-\dfrac{4}{5}\right)^6+1\le0+1=1\)

\(\Rightarrow GTLN\left(B\right)=1\left(x=\dfrac{1}{10}\right)\)

S \(\dfrac{1}{1.2}+\dfrac{1}{2.3}+\dfrac{1}{3.4}+\dfrac{1}{4.5}+...+\dfrac{1}{9.10}\)

\(S=1-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{4}+...+\dfrac{1}{9}-\dfrac{1}{10}\)

\(S=1-\dfrac{1}{10}\)

\(S=\dfrac{9}{10}\)

N= \(\dfrac{1}{9.11}+\dfrac{1}{11.13}+\dfrac{1}{13.15}+\dfrac{1}{15.16}+...+\dfrac{1}{43.47}\)

N= \(\dfrac{1}{2}.\left(\dfrac{2}{9.11}+\dfrac{2}{11.13}+\dfrac{2}{13.15}+...+\dfrac{2}{43.45}\right)\)

N= \(\dfrac{1}{2}.\left(\dfrac{1}{9}-\dfrac{1}{11}+\dfrac{1}{11}-\dfrac{1}{13}+\dfrac{1}{13}-\dfrac{1}{15}+...+\dfrac{1}{43}-\dfrac{1}{45}\right)\)

N= \(\dfrac{1}{2}.\left(\dfrac{1}{9}-\dfrac{1}{45}\right)\)

N=\(\dfrac{1}{2}\) . \(\dfrac{4}{45}\)

N= \(\dfrac{2}{45}\)

a,\(-\left(m+n-k\right)+\left(m-k\right)-\left(-m+n\right)\\ =-m-n+k+m-k+m-n\\ =m-2n\)

b, \(\left(x-y\right)-\left(x+y\right)-\left(2x-3y\right)\\ =x-y-x-y-2x+3y\\ =-2x+y\)

Gọi đường chéo của hình thoi là d và chu vi đáy là p.

Ta có hệ phương trình sau:
d + d = 24cm (vì đường chéo của hình thoi bằng 24cm)
p = 52cm (vì chu vi đáy của hình thoi bằng 52cm)

Từ đó, ta có:
2d = 24cm
d = 12cm

Vậy đường chéo của hình thoi là 12cm.

Để tính chiều cao của hình lăng trụ, ta sử dụng định lý Pytago:
Chiều cao của hình lăng trụ = căn bậc hai của (d^2 - (cạnh đáy/2)^2)
= căn bậc hai của (12^2 - (10/2)^2)
= căn bậc hai của (144 - 25)
= căn bậc hai của 119
≈ 10.92cm

Vậy chiều cao của hình lăng trụ là khoảng 10.92cm.

Để tính thể tích của hình lăng trụ, ta sử dụng công thức:
Thể tích = diện tích đáy x chiều cao
= (diện tích hình thoi x 2) x chiều cao
= (cạnh đáy x cạnh đáy x sin(góc giữa hai đường chéo) x 2) x chiều cao
= (10cm x 10cm x sin(90°) x 2) x 10.92cm
= (100cm^2 x 1 x 2) x 10.92cm
= 2184cm^3

Vậy thể tích của hình lăng trụ là 2184cm^3

\(0,4^4=\left(0,04.10\right)^4=0,2^8.10^4\)

\(0,8^3=\left(0,008.100\right)^3=0,2^9.10^5>0,2^8.10^4\)

\(\Rightarrow0,4^4< 0,8^3\)

\(4.3^x+3^{x+1}=63\)

\(\Rightarrow4.3^x+3.3^x=63\)

\(\Rightarrow7.3^x=63\Rightarrow3^x=9=3^2\Rightarrow x=2\)

\(9.\left(\dfrac{2}{3}\right)^{x+2}-\left(\dfrac{2}{3}\right)^x=\dfrac{4}{3}\)

\(\Rightarrow9.\left(\dfrac{2}{3}\right)^2\left(\dfrac{2}{3}\right)^x-\left(\dfrac{2}{3}\right)^x=\dfrac{4}{3}\)

\(\Rightarrow9.\dfrac{4}{9}^{ }.\left(\dfrac{2}{3}\right)^x-\left(\dfrac{2}{3}\right)^x=\dfrac{4}{3}\)

\(\Rightarrow\left(\dfrac{2}{3}\right)^x.\left(4-1\right)=\dfrac{4}{3}\)

\(\Rightarrow\left(\dfrac{2}{3}\right)^x.\dfrac{1}{3}=\dfrac{4}{3}\Rightarrow\left(\dfrac{2}{3}\right)^x=4\)

mà \(0< \left(\dfrac{2}{3}\right)^x< 1;4>0;x>0\)

\(\Rightarrow x\in\varnothing\)