Gọi số chính phương cần tìm là n2n2

Có:

:n2=100A+bn2=100A+b ( A là số trăm,1≤b≤991≤b≤99)

Theo bài ra ta có 100A là số chính phương

⇒A⇒A là số chính phương

Đặt A=x2A=x2

Có: n2>100x2n2>100x2

⇒n>10x⇒n>10x

⇒n≥10x+1⇒n≥10x+1

⇒n2≥(10x+1)2⇒n2≥(10x+1)2

⇒100x2+b≥100x2+20x+1⇒100x2+b≥100x2+20x+1

⇒b≥20x+1⇒b≥20x+1

Mà b≤99b≤99

⇒20x+1≤99⇒20x+1≤99

⇒x≤4⇒x≤4

Ta có :

n2=100x2+b≤1600+99n2=100x2+b≤1600+99

⇒n2=100x2+b≤1699⇒n2=100x2+b≤1699

Chỉ có 412=1681(tm)412=1681(tm)

Vậy số chính phương lớn nhất phải tìm là 412=1681

p là số nguyên tố hay số tự nhiên vậy bn?

bạn chứng minh bằng quy nạp á

cái này cũng dễ

chỉ cần tính theo công thức 

quy nạp là sẽ đc

\(n+5n+16\)

\(=6n+16\)

Áp dụng công thức : \(\hept{\begin{cases}a⋮n\\b⋮n\end{cases}}\Rightarrow\left(a+b\right)⋮n\)

Mà 169 không chia hết cho 6 nên n +5n + 16 không chia hết cho 169

áp dụng bất đẳng thức côsi

a+b >= 2\(\sqrt{ab}\)

<=> (a+b).\(\sqrt{c}\)>=2.\(\sqrt{abc}\)                      

Mà \(\sqrt{abc}\)= (a+b) .\(\sqrt{c}\) nên a=b , \(\sqrt{c}\)= 2.\(\sqrt{c}\) 

<=> c = 0 và với mọi a,b 

bạn Nguyễn Anh Quân hiểu sai rồi, là \(\sqrt{\overline{abc}}\)  chứ ko phải  \(\sqrt{abc}\)  đâu nha

A= 4+\(\sqrt{10+2\sqrt{5}}\) + 4 - \(\sqrt{10-2\sqrt{5}}\) + 2. \(\sqrt{16-\left(10+2\sqrt{5}\right)}\)

=8 + 2. \(\sqrt{6-2\sqrt{5}}\)

=8 + 2. \(\sqrt{\left(\sqrt{5}-1\right)^2}\)

=8+ 2\(\sqrt{5}\) -2

=6 + 2\(\sqrt{5}\)

Anh Quân, cảm ơn bạn đã trả lời. Nhưng bài này mình đã tìm được cách giải, và bài của bạn có 2 lỗi:
1. Hàng đầu tiên A của bạn đúng ra phải là A²  Và đáp án cuối cùng phải có căn.

2. \(6+2\sqrt{5}\) Có thể tiếp tục phân tích tiếp thành \(\left(\sqrt{5}+1\right)^2\)
Khi đó: \(B^2=\left(\sqrt{5}+1\right)^2\)

=> \(B=\sqrt{\left(\sqrt{5}+1\right)^2}\)

=> \(B=\sqrt{5}+1\)

Hình như thiếu đề nên cho cả n là số tự nhiên khác 0 nữa.

Xét n = 1 thì ta có:

\(m^2-1=\left(2x+1\right)^2-1=4\left(x^2+x\right)⋮8\)

Giả sử nó đúng tới n = k

\(\Rightarrow m^{2^k}-1=a.2^{k+2}=ay\)

\(\Rightarrow m^{2^k}=ay+1\)

Ta chứng minh nó đúng với n = k + 1

Hay \(\Rightarrow m^{2.2^k}-1⋮2^{k+2+1}\)

\(\Rightarrow\left(ay+1\right)^2-1⋮2y\)

Ta có: \(\left(ay+1\right)^2-1=a^2y^2+2ay\)

Mà \(\hept{\begin{cases}a^2y^2⋮2y\\2ay⋮2y\end{cases}}\)(do y là số chẵn)

\(\Rightarrow\)Nó đúng với n = k + 1.

Vậy theo quy nạp ta có điều phải chứng minh.

\(\frac{\left(5+2\sqrt{6}\right)\left(49-20\sqrt{6}\right)\sqrt{5-2\sqrt{6}}}{9\sqrt{3}-11\sqrt{2}}\)

\(=\frac{\left(5+2\sqrt{6}\right)\left(5-2\sqrt{6}\right)^2\sqrt{5-2\sqrt{6}}}{9\sqrt{3}-11\sqrt{2}}\)

\(=\frac{\left(5+2\sqrt{6}\right)\left(5-2\sqrt{6}\right)\sqrt{\left(5-2\sqrt{6}\right)^2.\left(5-2\sqrt{6}\right)}}{9\sqrt{3}-11\sqrt{2}}\)

\(=\frac{\left[25-\left(2\sqrt{6}\right)^2\right]\sqrt{\left(5-2\sqrt{6}\right)^3}}{9\sqrt{3}-11\sqrt{2}}\)

\(=\frac{\sqrt{125-150\sqrt{6}+360-48\sqrt{6}}}{9\sqrt{3}-11\sqrt{2}}\)

\(=\frac{\sqrt{485-198\sqrt{6}}}{9\sqrt{3}-11\sqrt{2}}\)

\(=\frac{\sqrt{243-2.9\sqrt{3}.11\sqrt{2}+242}}{9\sqrt{3}-11\sqrt{2}}\)

\(=\frac{\sqrt{\left(9\sqrt{3}-11\sqrt{2}\right)^2}}{9\sqrt{3}-11\sqrt{2}}=1\)

Bang 1 nha ban

\(\sqrt{2}\left(\sqrt{2+\sqrt{3}}+\sqrt{2-\sqrt{3}}\right)=\sqrt{4+2\sqrt{3}}+\sqrt{4-2\sqrt{3}}\)

\(=\sqrt{\left(\sqrt{3}+1\right)^2}+\sqrt{\left(\sqrt{3}-1\right)^2}=\sqrt{3}+1+\sqrt{3}-1=2\sqrt{3}\)