a: Xét tứ giác AMHN có \(\widehat{AMH}+\widehat{ANH}=90^0+90^0=180^0\)

nên AMHN là tứ giác nội tiếp

b: Xét tứ giác BNMC có \(\widehat{BNC}=\widehat{BMC}=90^0\)

nên BNMC là tứ giác nội tiếp

=>\(\widehat{BNM}+\widehat{BCM}=180^0\)

mà \(\widehat{BNM}+\widehat{ANM}=180^0\)(hai góc kề bù)

nên \(\widehat{ANM}=\widehat{ACB}\)

a: 

b: Phương trình hoành độ giao điểm là:

\(2x^2=3x-1\)

=>\(2x^2-3x+1=0\)

=>(x-1)(2x-1)=0

=>\(\left[{}\begin{matrix}x=1\\x=\dfrac{1}{2}\end{matrix}\right.\)

Khi x=1 thì \(y=2\cdot x^2=2\cdot1^2=2\)

Khi x=1/2 thì \(y=2\cdot\left(\dfrac{1}{2}\right)^2=\dfrac{1}{2}\)

Vậy: (P) giao (Δ) tại A(1;2); B(1/2;1/2)

c: Phương trình hoành độ giao điểm là:

\(2x^2=-2\left(m-2\right)x-2m+6\)

=>\(2x^2+2\left(m-2\right)x+2m-6=0\)

=>\(x^2+\left(m-2\right)x+m-3=0\)

\(\text{Δ}=\left(m-2\right)^2-4\left(m-3\right)\)

\(=m^2-4m+4-4m+12=m^2-8m+16=\left(m-4\right)^2\)

Để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt thì Δ>0

=>\(\left(m-4\right)^2>0\)

=>\(m-4\ne0\)

=>\(m\ne4\)

Theo Vi-et, ta có:

\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}=-m+2\\x_1x_2=\dfrac{c}{a}=m-3\end{matrix}\right.\)

\(2x_1x_2-\left(x_1-x_2\right)^2=-1\)

=>\(2x_1x_2-\left[\left(x_1+x_2\right)^2-4x_1x_2\right]=-1\)

=>\(-\left(x_1+x_2\right)^2+6x_1x_2=-1\)

=>\(-\left(-m+2\right)^2+6\left(m-3\right)=-1\)

=>\(-m^2+4m-4+6m-18+1=0\)

=>\(-m^2+10m-21=0\)

=>\(\left(m-3\right)\left(m-7\right)=0\)

=>\(\left[{}\begin{matrix}m=3\left(nhận\right)\\m=7\left(nhận\right)\end{matrix}\right.\)

Thay y=-2 vào (d), ta được:

\(\dfrac{1}{2}x+2=-2\)

=>\(\dfrac{x}{2}=-4\)

=>x=-8

Thay x=-8 và y=-2 vào y=ax+b, ta được:

\(a\cdot\left(-8\right)+b=-2\)

=>-8a+b=-2

=>8a-b=2(1)

Thay x=2 và y=-3 vào y=ax+b, ta được:

\(a\cdot2+b=-3\)

=>2a+b=-3(2)

Từ (1),(2) ta có hệ phương trình:

\(\left\{{}\begin{matrix}8a-b=2\\2a+b=-3\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}10a=-1\\8a-b=2\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}a=-\dfrac{1}{10}\\b=8a-2=-\dfrac{8}{10}-2=-\dfrac{28}{10}=-\dfrac{14}{5}\end{matrix}\right.\)

Vậy: (d'): \(y=-\dfrac{1}{10}x-\dfrac{14}{5}\)

\(x+2xy+3xyz=47\)

\(\Leftrightarrow x\left(1+2y+3yz\right)=47\)

TH1: \(\left\{{}\begin{matrix}x=1\\1+2y+3yz=47\end{matrix}\right.\) 

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=1\\y\left(2+3z\right)=46\end{matrix}\right.\)

 TH1.1: \(\left\{{}\begin{matrix}y=1\\2+3z=46\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=1\\z=\dfrac{44}{3}\left(loại\right)\end{matrix}\right.\)

 TH1.2: \(\left\{{}\begin{matrix}y=2\\2+3z=23\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=2\\z=7\end{matrix}\right.\) (nhận)

 Vì \(z\inℕ^∗\) nên \(2+3z>2\). Do đó \(y< 23\) nên ta không xét các TH \(y=23,y=46\)

 TH2: \(\left\{{}\begin{matrix}x=47\\y\left(2+3z\right)=1\end{matrix}\right.\). Khi đó \(y=2+3z=1\) \(\Rightarrow z=\dfrac{-1}{3}\), vô lý.

 Vậy có một bộ số (x, y, z) duy nhất thỏa ycbt là \(\left(1,2,7\right)\)

Lời giải:

Đặt $x+2022=a$ thì PT trở thành:

\(\frac{a^2-a(a+2)+(a+2)^2}{a^2+a(a+2)+2(a+2)^2}=\frac{3}{2}\\ \Leftrightarrow \frac{a^2+2a+4}{4a^2+10a+8}=\frac{3}{2}\\ \Leftrightarrow \frac{a^2+2a+4}{2a^2+5a+4}=3\\ \Rightarrow a^2+2a+4=3(2a^2+5a+4)=6a^2+15a+12\\ \Leftrightarrow 5a^2+13a+8=0\\ \Leftrightarrow (a+1)(5a+8)=0\\ \Leftrightarrow a=-1\text{ hoặc } a=\frac{-8}{5}\\ \Leftrightarrow x+2022=-1 \text{ hoặc } x+2022=\frac{-8}{5}\\ \Leftrightarrow x=-2023 \text{ hoặc } x=-2023,6\)

Vì \(x_1,x_2\) là 2 nghiệm của pt \(x^2-x-1=0\) nên:

\(x_1^2-x_1-1=x_2^2-x_2-1=0\)

Đồng thời, theo định lý Vi-ét, ta có:

\(x_1+x_2=1;x_1x_2=-1\)

Do đó \(B=\left(x_1^4-x_1^2\right)+x_2^2-x_1\)

\(B=x_1^2\left(x_1^2-1\right)+x_2^2-x_1\)

\(B=\left(x_1+1\right)x_1+x_2^2-x_1\)

\(B=x_1^2+x_2^2\)

\(B=\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2\)

\(B=1^2-2\left(-1\right)\)

\(B=3\)

Đoạn $\sqrt{21x_1-8}$ bạn viết có đúng không vậy?

Có ạ

Lời giải:

a.

Vì $MC, MD$ là tiếp tuyến của $(O)$ nên $MC\perp OC, MD\perp OD$

$\Rightarrow \widehat{MCO}=\widehat{MDO}=90^0$

Tứ giác $MCOD$ có tổng 2 góc đối nhau $\widehat{MCO}+\widehat{MDO}=90^0+90^0=180^0$ nên $MCOD$ là tứ giác nội tiếp.

$\Rightarrow M,C,O,D$ cùng thuộc 1 đường tròn (1)

Mặt khác:

$K$ là trung điểm $AB$ nên $OK\perp AB$.

$\Rightarrow \widehat{MKO}=90^0$

Tứ giác $MCKO$ có $\widehat{MCO}=\widehat{MKO}=90^0$ và cùng nhìn cạnh $MO$ nên $MCKO$ là tứ giác nội tiếp.

$\Rightarrow M,C,K,O$ cùng thuộc 1 đường tròn (2)

Từ $(1); (2)\Rightarrow M,C,K,O,D$ cùng thuộc 1 đường tròn.

$\Rightarrow MCKD$ là tứ giác nội tiếp.

b.

Xét tam giác $MCA$ và $MBC$ có:

$\widehat{M}$ chung

$\widehat{MCA}=\widehat{MBC}$ (góc tạo bởi tt và dây cung bằng góc nt chắn cung đó)

$\Rightarrow \triangle MCA\sim \triangle MBC$ (g.g)

$\Rightarrow \frac{MC}{MA}=\frac{MB}{MC}\Rightarrow MC^2=MA.MB(3)$

Mặt khác:

Xét tam giác $MCN$ và $MKC$ có:

$\widehat{M}$ chung

$\widehat{MCN}=\widehat{MCD}=\frac{1}{2}\text{sđc(CD)}=\frac{1}{2}\widehat{COD}=\widehat{COM}=\widehat{MKC}$ (do $MCKO$ là tgnt)

$\Rightarrow \triangle MCN\sim \triangle MKC$ (g.g)

$\Rightarrow \frac{MC}{MK}=\frac{MN}{MC}$

$\Rightarrow MC^2=MK.MN(4)$

Từ $(3); (4)\Rightarrow MA.MB=MK.MN$

Hình vẽ:

1.

Áp dụng định lý Viet:

$x_1+x_2=\frac{7}{2}$

$x_1x_2=\frac{-3}{2}$
Khi đó:

$B=x_1^2x_2+x_2^2x_1-3x_1x_2=x_1x_2(x_1+x_2)-3x_1x_2$

$=\frac{-3}{2}.\frac{7}{2}-3.\frac{-3}{2}=\frac{-3}{4}$

2.

Để pt có 2 nghiệm $x_1,x_2$ thì:

$\Delta'=(m+1)^2-3(2m-1)\geq 0$

$\Leftrightarrow m^2-4m+4\geq 0$

$\Leftrightarrow (m-2)^2\geq 0\Leftrightarrow m\in\mathbb{R}$
Áp dụng định lý Viet:

$x_1+x_2=\frac{2(m+1)}{3}$

$x_1x_2=\frac{2m-1}{3}$
Để PT có 2 nghiệm $x_1,x_2<2$ thì:
\(\left\{\begin{matrix} x_1+x_2< 4\\ (x_1-2)(x_2-2)>0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x_1+x_2<4\\ x_1x_2-2(x_1+x_2)+4>0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \frac{2(m+1)}{3}<4\\ \frac{2m-1}{3}-2.\frac{2(m+1)}{3}+4>0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} m<5\\ m< \frac{7}{2}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow m< \frac{7}{2}\)

Vậy..........

Lời giải:
Xét số hạng tổng quát:
\(\sqrt{1+\frac{1}{n^2}+\frac{1}{(n+1)^2}}=\sqrt{\frac{n^2+1}{n^2}+\frac{1}{(n+1)^2}}\\ =\sqrt{\frac{(n+1)^2}{n^2}-\frac{2n}{n^2}+\frac{1}{(n+1)^2}}\\ =\sqrt{\frac{(n+1)^2}{n^2}-\frac{2}{n}+\frac{1}{(n+1)^2}}\\ =\sqrt{(\frac{n+1}{n}-\frac{1}{n+1})^2}=\frac{n+1}{n}-\frac{1}{n+1}=1+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\)

Do đó:

\(C=1+\frac{1}{1}-\frac{1}{2}+1+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+1+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+....+1+\frac{1}{2018}-\frac{1}{2019}\\ =(1+1+...+1)+(\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+...+\frac{1}{2018})-(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{2019})\\ =2018+1-\frac{1}{2019}=2019-\frac{1}{2019}\)

đáp án : 2019-1/2019