\(A=\left(a-b\right)^3+\left(b-c\right)^3+\left(c-a\right)^3\)

\(=a^3-3ab\left(a+b\right)+b^3+b^3-3bc\left(b+c\right)+c^3+c^3-3ca\left(c+a\right)+a^3\)

\(=3\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)\)\(⋮3\)

Lấy  \(a,b,c\)lần lượt chia cho \(2\)ta được tối đa 2 số dư là:  \(0;1\)Do đó tồn tại ít nhất 2 số có cùng số dư khi chia cho 2

\(\Rightarrow\)hiệu của chúng chia hết cho 2

\(\Rightarrow\)\(A⋮2\)

mà  \(\left(2;3\right)=1\)\(\Rightarrow\)\(A⋮6\)

các câu còn lại lm tương tự nhé ^^

a,\(A=x^2-x-1\)

\(=x^2-x+\frac{1}{4}-\frac{5}{4}\)

\(=\left(x-\frac{1}{2}\right)^2-\frac{5}{4}\)

Vì:\(\left(x-\frac{1}{2}\right)^2\ge0\forall x\)

\(\Rightarrow\left(x-\frac{1}{2}\right)^2-\frac{5}{4}\ge-\frac{5}{4}\forall x\)

Hay:\(A\ge0\forall x\)

Dấu = xảy ra khi:\(\left(x-\frac{1}{2}\right)^2=0\Rightarrow x=\frac{1}{2}\)

Vậy Min A=-5/4 tại x=1/2

Hai phần cn lại lm tg  tự nha bn

Ta có: \(B=\frac{x^4+1}{x^4+2x^2+1}=\frac{x^4+2x^2+1-2x^2-2+2}{x^4+2x^2+1}\)

\(=\frac{\left(x^2+1\right)^2-2\left(x^2+1\right)+2}{\left(x^2+1\right)^2}=1-\frac{2\left(x^2+1\right)}{\left(x^2+1\right)^2}+\frac{2}{\left(x^2+1\right)^2}\)

\(=1+2\left[\frac{1}{\left(x^2+1\right)^2}-2\cdot\frac{1}{x^2+1}\cdot\frac{1}{2}+\frac{1}{4}-\frac{1}{4}\right]\)

\(=1+2\left(\frac{1}{x^2+1}-\frac{1}{2}\right)^2-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}+2\left(\frac{1}{x^2+1}-\frac{1}{2}\right)^2\)

Vì \(2\left(\frac{1}{x^2+1}-\frac{1}{2}\right)^2\ge0\Rightarrow B=\frac{1}{2}+2\left(\frac{1}{x^2+1}-\frac{1}{2}\right)^2\ge\frac{1}{2}\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\frac{1}{x^2+1}-\frac{1}{2}=0\Leftrightarrow\frac{1}{x^2+1}=\frac{1}{2}\Leftrightarrow x^2+1=2\Leftrightarrow x^2=1\Leftrightarrow x=\pm1\)

Vậy \(Bmin=\frac{1}{2}\Leftrightarrow x=\pm1\)

Gọi vận tốc xe đi từ A là x(km/h)(x>0)

->Vận tốc xe đi từ B là: x-10(km/h)

Sau 2h:

Quãng đg xe đi từ A đi đc là: 2x(km)

''...........................''B'...........': 2(x-10)(km)

Mà AB=180km nên ta có phương trình:

          2x+2(x-10)=180

<=>2x+2x-20=180

<=>4x=200

<=>x=50

Vận tốc xe đi từ A là:50km/h

Vận tốc xe đi  từ B là:50-10=40(km/h)

Gọi vận tốc xe đi từ A là x (km/h) (x>10)

Thì vận tốc xe đi từ B là x-10(km/h) 

Quãng đường xe đi từ A đi là : 2x (km)

Quãng đưỡng xe đi từ B đi là: 2(x-10) (km)

Ta có phương trình : 2x+2(x-10)=180 => x=50 

Vậy vận tốc xe đi từ A là 50km/h 

Vận tốc xe đi từ B là 50-10=40(km/h)

P=\(\frac{x-4}{x+4}\) ĐKXĐ: X\(\ne\) -4

P=\(\frac{x+4-8}{x+4}=1-\frac{8}{x+4}\)

Để P nhận giá trị nguyên thì \(\frac{x-4}{x+4}\)hay \(1-\frac{8}{x+4}\)

phải nhận giá trị nguyên.

\(\Rightarrow\left(x+4\right)\inƯ\left(8\right)=\left\{\pm1;\pm2;\pm4;\pm8\right\}\)

Ta có bảng sau:

 Vậy để P nhận giá trị nguyên thì \(x\in\left\{-3;-2;0;4;-12;-8;-6;-5\right\}\)

b) Ta có pt \(\Leftrightarrow\sqrt{x-1-4\sqrt{x-1}+4}+\sqrt{x-1-6\sqrt{x-1}+9}=1\)

<=>  \(\left|\sqrt{x-1}-2\right|+\left|\sqrt{x-1}-3\right|=1\Leftrightarrow\left|3-\sqrt{x-1}\right|+\left|\sqrt{x-1}-2\right|=1\)

Mà \(\left|3-\sqrt{x-1}\right|+\left|\sqrt{x-1}-2\right|\ge\left|3-\sqrt{x-1}+\sqrt{x-1}-2\right|=1\)

...

a) Đặt \(\sqrt{x^2-4x-5}=a\left(a\ge0\right)\)

Ta có pt \(\Leftrightarrow2a^2-3a-2=0\Leftrightarrow\left(a-2\right)\left(2a+1\right)=0\)

...

A B C H K D M N E

a) Ta có  \(\Delta ABC\)cân tại A  \(\Rightarrow\widehat{ABC}=\frac{180^o-\widehat{BAC}}{2}\left(1\right)\)

Do BD là phân giác  \(\widehat{ABC}\)\(\Rightarrow\widehat{ABD}=\widehat{DBC}\)

          CE là phân giác  \(\widehat{ACB}\)\(\Rightarrow\widehat{ACE}=\widehat{ECB}\)

Mà \(\Delta ABC\)cân  \(\Rightarrow\widehat{ABC}=\widehat{ACB}\)

Suy ra  \(\widehat{ABD}=\widehat{DBC}=\widehat{ACE}=\widehat{ECB}\)

Xét  \(\Delta ABD=\Delta ACE\left(g-c-g\right)\)( tự xét nha :)))

\(\Rightarrow AD=AE\)\(\Rightarrow\Delta AED\)cân tại A 

\(\Rightarrow\widehat{AED}=\frac{180^o-\widehat{BAC}}{2}\left(2\right)\)

Từ (1) và (2)  \(\Rightarrow\widehat{AED}=\widehat{ABC}\)

Mà hai góc đó ở vị trí đồng vị

\(\Rightarrow ED//BC\)

Lại có :  \(\widehat{ABC}=\widehat{ACB}\)

Suy ra : BEDC là hình thang cân (3)

Ta có :  \(ED//BC\Rightarrow\widehat{EDB}=\widehat{DBC}\)( so le trong )

Mà  \(\widehat{EBD}=\widehat{DBC}\)

Suy ra  \(\widehat{EDB}=\widehat{EBD}\)\(\Rightarrow\Delta BED\)cân tại E 

\(\Rightarrow EB=ED\left(4\right)\)

Từ (3) và (4)  \(\Rightarrow\)BEDC là hình thang cân có cạnh bên bằng đáy nhỏ -_-

b) Xét  \(\Delta ABH=\Delta ACK\left(ch-gn\right)\)( tự xét )

\(\Rightarrow AK=AH\)\(\Rightarrow\Delta AKH\)cân tại A

\(\Rightarrow\widehat{AKH}=\frac{180^o-\widehat{BAC}}{2}\left(5\right)\)

Từ (1) và (5)  \(\Rightarrow\widehat{AKH}=\widehat{ABC}\)

Mà hai góc trên ở vị trí đồng vị 

Suy ra : KH // BC

Lại có  : \(\widehat{ABC}=\widehat{ACB}\)

Suy ra : BKHC là hình thang cân 

c) Do BM là trung tuyến  \(\Rightarrow AM=\frac{1}{2}AC\)

          CN là trung tuyến  \(\Rightarrow AN=\frac{1}{2}AB\)

Mà AB = AC  \(\Rightarrow AN=AM\)

\(\Rightarrow\Delta AMN\)cân tại A  \(\Rightarrow\widehat{ANM}=\frac{180^o-\widehat{BAC}}{2}\left(6\right)\)

Từ (1) và (6)  \(\Rightarrow\widehat{ANM}=\widehat{ABC}\)

Mà hai góc trên ở vị trí đồng vị 

\(\Rightarrow MN//BC\)

Lại có :  \(\widehat{ABC}=\widehat{ACB}\)

Suy ra BNMC là hình thang cân 

Vậy ...

Mai phải nộp rồi. Mong các bạn giúp đỡ