A C B M D E F

a) Xét tam giác ABC có DB = DA, MB = MC nên MD là đường trung bình của tam giác ABC.

\(\Rightarrow AC=2MD\) và MD // AC.

Do E đối xứng với M qua D nên ED = EM hay EM = 2MD.

Suy ra EM = AC.

Xét tứ giác EMCA có EM // AC và EM = AC nên AEMC là hình bình hành.

b) Ta có M là trung điểm của BC và AF nên tứ giác ABFC là hình bình hành.

Lại có \(\widehat{BAC}=90^o\) nên ABFC là hình chữ nhật.

c) Do ABFC là hình chữ nhật nên \(\widehat{ABF}=90^o\Rightarrow AB\perp BF\)

d) Xét tam giác vuông ABC, áp dụng định lý Pi-ta-go ta có:

 \(AB^2+AC^2=BC^2\Rightarrow AC^2=10^2-6^2=64\Rightarrow AC=8\left(cm\right)\)

Vậy diện tích hình chữ nhật ABFC là:    6 x 8 =  48 (cm²)

điều kiện: \(x\ne\pm3\)

A = \(\frac{3\left(x-3\right)}{\left(x+3\right)\left(x-3\right)}+\frac{x+3}{\left(x+3\right)\left(x-3\right)}+\frac{18}{\left(x-3\right)\left(x+3\right)}\)

= \(\frac{3x-9+x+3+18}{\left(x-3\right)\left(x+3\right)}=\frac{4\left(x+3\right)}{\left(x-3\right)\left(x+3\right)}\)

= \(\frac{4}{x-3}\)

Với x = 1 thì A = \(\frac{4}{1-3}=-2\)

a, ĐKXĐ : x+3 khác 0 ; x-3 khác 0 ; x^2-9 khác 0 <=> x khác -3 và 3

b, A = 3.(x-3)+x+3+18/(x-3).(x+3) = 4x+12/(x+3).(x-3) = 4.(x+3)/(x+3).(x-3) = 4/x-3

c, Khi x =1 thì A = 4/1-3 = -2

k mk nha

 Tìm số nguyên tố x thỏa mãn : x² – 4x – 21 = 0

Giải:Ta có:

x²-4x-21=0\(\Leftrightarrow\)x²-7x+3x-21=0

\(\Leftrightarrow\)x(x-7)+3(x-7)=0\(\Leftrightarrow\)(x+3)(x-7)=0

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x+3=0\\x-7=0\end{cases}}\)\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=-3\\x=7\end{cases}}\)

Vì x là số nguyên tố nên x=7 thỏa mãn

Vậy................................

phương trình <=> x² - 4x + 4 -25 = 0

<=> (x-2)² - 5² = 0

<=> (x-7)(x+3) = 0

=> x = 7 hoặc x = -3

Từ giả thiết ta có: \(ab+bc+ca=abc\Rightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=1\)

Xét vế trái: \(\frac{a^4+b^4}{ab\left(a^3+b^3\right)}+\frac{b^4+c^4}{bc\left(b^3+c^3\right)}+\frac{c^4+a^4}{ca\left(c^3+a^3\right)}\)\(=\frac{\frac{a^4+b^4}{a^4b^4}}{\frac{ab\left(a^3+b^3\right)}{a^4b^4}}+\frac{\frac{b^4+c^4}{b^4c^4}}{\frac{bc\left(b^3+c^3\right)}{b^4c^4}}+\frac{\frac{c^4+a^4}{c^4a^4}}{\frac{ca\left(c^3+a^3\right)}{c^4a^4}}\)

\(=\frac{\frac{1}{a^4}+\frac{1}{b^4}}{\frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}}+\frac{\frac{1}{b^4}+\frac{1}{c^4}}{\frac{1}{b^3}+\frac{1}{c^3}}+\frac{\frac{1}{c^4}+\frac{1}{a^4}}{\frac{1}{c^3}+\frac{1}{a^3}}\)

Đặt \(\left(\frac{1}{a};\frac{1}{b};\frac{1}{c}\right)\rightarrow\left(x;y;z\right)\Rightarrow\hept{\begin{cases}x,y,z>0\\x+y+z=1\end{cases}}\)

và ta cần chứng minh \(\frac{x^4+y^4}{x^3+y^3}+\frac{y^4+z^4}{y^3+z^3}+\frac{z^4+x^4}{z^3+x^3}\ge1\)

Ta xét BĐT phụ sau: \(\frac{p^4+q^4}{p^3+q^3}\ge\frac{p+q}{2}\)(*)

Thật vậy: (*)\(\Leftrightarrow\left(p-q\right)^2\left(p^2+pq+q^2\right)\ge0\)(đúng với mọi số thực p,q)

Áp dụng ta có: \(\frac{x^4+y^4}{x^3+y^3}\ge\frac{x+y}{2}\)(1); \(\frac{y^4+z^4}{y^3+z^3}\ge\frac{y+z}{2}\)(2); \(\frac{z^4+x^4}{z^3+x^3}\ge\frac{z+x}{2}\)(3)

Cộng theo vế của 3 BĐT (1), (2), (3), ta được:

\(\frac{x^4+y^4}{x^3+y^3}+\frac{y^4+z^4}{y^3+z^3}+\frac{z^4+x^4}{z^3+x^3}\ge\frac{2\left(x+y+z\right)}{2}=1\)

Vậy bất đẳng thức được chứng minh

Đẳng thức xảy ra khi x = y = z = \(\frac{1}{3}\)hay a = b = c = 3

nham nha mn, phai  laf 2(a^4+b^4)>=(a+b)(a^3+b^3)

Sửa lại đề nha: abc = 1

\(\frac{1}{a+b+1}+\frac{1}{b+c+1}+\frac{1}{c+a+1}\le1\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b+1\right)\left(b+c+1\right)+\left(b+c+1\right)\left(c+a+1\right)\)\(+\left(c+a+1\right)\left(a+b+1\right)\)

    \(\le\left(a+b+1\right)\left(b+c+1\right)\left(c+a+1\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(b+c\right)+a+b+b+c+1\)\(+\left(b+c\right)\left(c+a\right)+b+c+c+a+1\)
      \(+\left(c+a\right)\left(a+b\right)+c+a+a+b+1\)

\(\le\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)+\left(a+b\right)\left(b+c\right)+\left(b+c\right)\left(c+a\right)\)  \(+\left(c+a\right)\left(a+b\right)+a+b+b+c+c+a+1\)

\(\Leftrightarrow2+2\left(a+b+c\right)\le\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\)

 \(\Leftrightarrow2+2\left(a+b+c\right)\le\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)-abc\)

\(\Leftrightarrow3\le\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca-2\right)\)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 3 số không âm:\(\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca-2\right)\ge3.\sqrt[3]{a.b.c}.\left[3.\sqrt[3]{ab.bc.ca}-2\right]=3\)

\(\Rightarrow\)đpcm
Dấu đẳng thức xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=1\)

M = \(\left(\frac{x}{x-3}-\frac{x+3}{3x^2-6x-9}+\frac{1}{3x+3}\right)\)\(\frac{x^2-2x-3}{x^2+x+2}\)

= \(\left(\frac{x\left(3x+3\right)}{3\left(x-3\right)\left(x+1\right)}-\frac{x+3}{3\left(x-3\right)\left(x+1\right)}+\frac{x-3}{3\left(x+1\right)\left(x-3\right)}\right)\)\(\frac{\left(x+1\right)\left(x-3\right)}{x^2+x+2}\)

=  \(\frac{3\left(x^2+x-2\right)}{3\left(x-3\right)\left(x+1\right)}\)*  \(\frac{\left(x+1\right)\left(x-3\right)}{x^2+x+2}\)  = \(\frac{x^2+x-2}{x^2+x+2}\)

Ta thấy   x² + x - 2  <   x² + x + 2

nên M < 1

Đặt \(B=xy=2013-A\) thế vô cái cần tìm thì được

\(5x^2+\frac{y^2}{4}+\frac{1}{4x^2}=\frac{5}{2}\)

\(\Leftrightarrow x^2y^2+20x^4-10x^2+1=0\)

\(\Leftrightarrow20x^4-10x^2+1+B^2=0\)

\(\Leftrightarrow B^2=\frac{1}{4}-\left(\sqrt{20}x^2-\frac{\sqrt{5}}{2}\right)^2\le\frac{1}{4}\)

\(\Leftrightarrow-\frac{1}{2}\le B\le\frac{1}{2}\)

\(\Leftrightarrow-\frac{1}{2}\le2013-A\le\frac{1}{2}\)

\(\Leftrightarrow2012,3\le A\le2013,5\)

bạn chưa ghi gtnn , gtln xảy ra khi x=? và y=?

x⁴+4 

=x⁴ + 4x² + 4 - 4x² 
=(x²+2)²-(2x)²
=(x²+2-2x)(x²+2+2x)

x⁴ + 4

= x⁴ + 4x² + 4 - 4x²

= (x² + 2)² - (2x)²

= (x² + 2 - 2x)(x² + 2 + 2x)

a/ Ta có: O là giao điểm 2 đường chéo (gt) => O là trung điểm của  AC và BD => BO = OD

Xét tg DOM và tg BON ta có: BO = OD (cmt); \(\widehat{DOM}=\widehat{BON}\) ( đối đỉnh); \(\widehat{ODM}=\widehat{OBN}\)( so le trong)

=> tg DOM = tg BON (g.c.g) =>> DM = BN

b/  Ta có: AD // BC (vì ABCD là hình vuông) ma M \(\in\)AD va N \(\in\) BC

=> MD // BN mà MD = BN (cmt) =>. Tứ giác BMDN là hình bình hành