Gọi biểu thức trên là A.

\(A=x^2+3x+7\)

\(A=x^2+2x.\frac{3}{2}+\left(\frac{3}{2}\right)^2-\left(\frac{3}{2}\right)^2+7\)

\(A=\left(x+\frac{3}{2}\right)^2-\frac{9}{4}+7\)

\(A=\left(x+\frac{3}{2}\right)^2+\frac{19}{4}\)

Nhận xét : \(\left(x+\frac{3}{2}\right)^2\ge0\forall x\)

\(\Rightarrow\left(x+\frac{3}{2}\right)^2+\frac{19}{4}\ge\frac{19}{4}\forall x\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\left(x+\frac{3}{2}\right)^2=0\Rightarrow x=\frac{-3}{2}\)

Vậy \(minA=\frac{19}{4}\Leftrightarrow x=\frac{-3}{2}\)

          \(\left(3x+4\right)^3=\left(9x+8\right)^2\)

\(\Leftrightarrow\)\(27x^3+108x^2+144x+64=81x^2+144x+64\)

\(\Leftrightarrow\)\(27x^3+27x^2=0\)

\(\Leftrightarrow\)\(27x^2\left(x+1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\)\(\orbr{\begin{cases}x=0\\x+1=0\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\)\(\orbr{\begin{cases}x=0\\x=-1\end{cases}}\)

Vậy....

\(\left(3x-4\right)\left(9x^2+12x-2\right)\)

\(=27x^3+36x^2-6x-36x^2-48x+8\)

\(=27x^3-54x+8\)

 Bài này ko khó lắm đâu. Bạn chỉ cần nghĩ một chút thôi.

a,Nối A với C.

Xét tam giác BAC có: M là trung điểm của AB, N là trung điểm của BC

Suy ra: MN là đường trung bình của tam giác BAC

Nên MN song song với BC.(1)

Xét tam giác ACD có: P là trung điểm của CD và Q là trung điểm của AD.

Do đó: PQ là đường trung bình của tam giác ACD

Nên PQ song song với BC. (2)

Từ (1) và (2), ta có: MN song song với PQ.

b, Xét tam giác MQP có: I là trung điểm của MQ, K là trung điểm của MP

Vì thế IK là đường trung bình của tam giác MQP

Suy ra: IK song song với PQ.

Tương tự, KH là đường trung bình của tam giác MNP

Nên KH song song với MN.

Mà MN song song với PQ

Do đó: KH song song với PQ

Qua điểm K nằm ngoài đường thẳng PQ, có 2 đường thẳng IK,KH cùng song song với PQ nên theo tiên đề Ơclít , 3 điểm I,K,H thẳng hàng.

Chúc bạn học tốt.

\(\left(a-b\right)^3+\left(b-c\right)^3+\left(c-a\right)^3\)

\(=\left(a-b+b-c\right)\left[\left(a-b\right)^2-\left(a-b\right)\left(b-c\right)+\left(b-c\right)^2\right]+\left(c-a\right)^3\)

\(=\left(a-c\right)\left[\left(a-b\right)^2-\left(a-b\right)\left(b-c\right)+\left(b-c\right)^2\right]-\left(a-c\right)^3\)

\(=\left(a-c\right)\left[\left(a-b\right)^2-\left(a-b\right)\left(b-c\right)+\left(b-c\right)^2-\left(a-c\right)^2\right]\)

\(=\left(a-c\right)\left[\left(a-b\right)\left(a-b-b+c\right)+\left(b-c+a-c\right)\left(b-c-a+c\right)\right]\)

\(=\left(a-c\right)\left[\left(a-b\right)\left(a-2b+c\right)+\left(a+b-2c\right)\left(b-a\right)\right]\)

\(=\left(a-c\right)\left[\left(a-b\right)\left(a-2b+c\right)-\left(a+b-2c\right)\left(a-b\right)\right]\)

\(=\left(a-c\right)\left(a-b\right)\left(a-2b+c-a-b+2c\right)\)

\(=-\left(c-a\right)\left(a-b\right)\left(-3b+3c\right)\)

\(=3\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)\)

Vì a > b > c nên a - b > 0 ; b - c > 0 ; c - a < 0

Do đó \(3\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)< 0\) hay \(\left(a-b\right)^3+\left(b-c\right)^3+\left(c-a\right)^3< 0\) (đpcm)

\(A=\left(a-b\right)^3+\left(b-c\right)^3+\left(c-a\right)^3\)

\(=a^3-3ab\left(a+b\right)+b^3+b^3-3bc\left(b+c\right)+c^3+c^3-3ca\left(c+a\right)+a^3\)

\(=3\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)\)\(⋮3\)

Lấy  \(a,b,c\)lần lượt chia cho \(2\)ta được tối đa 2 số dư là:  \(0;1\)Do đó tồn tại ít nhất 2 số có cùng số dư khi chia cho 2

\(\Rightarrow\)hiệu của chúng chia hết cho 2

\(\Rightarrow\)\(A⋮2\)

mà  \(\left(2;3\right)=1\)\(\Rightarrow\)\(A⋮6\)