Ta có: \(\frac{a+b}{bc+a^2}+\frac{b+c}{ac+b^2}+\frac{c+a}{ab+c^2}\le\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}-\frac{a+b}{bc+a^2}-\frac{b+c}{ac+b^2}-\frac{c+a}{ab+c^2}\ge0\)

\(\Leftrightarrow\frac{a^4b^4+b^4c^4+c^4a^4-a^4b^2c^2-b^4c^2a^2-c^4a^2b^2}{abc\left(bc+a^2\right)\left(ac+b^2\right)\left(ab+c^2\right)}\ge0\)

\(\Leftrightarrow\frac{2a^4b^4+2b^4c^4+2c^4a^4-2a^4b^2c^2-2b^4c^2a^2-2c^4a^2b^2}{2abc\left(bc+a^2\right)\left(ca+b^2\right)\left(ab+c^2\right)}\ge0\)

\(\Leftrightarrow\frac{\left(a^2b^2-b^2c^2\right)^2+\left(b^2c^2-c^2a^2\right)^2+\left(c^2a^2-a^2b^2\right)^2}{2abc\left(bc+a^2\right)\left(ac+b^2\right)\left(ab+c^2\right)}\ge0\)(Đúng) (do a, b, c>0 )

bạn ơi mik chỉ làm ngếu ngáo thôi nhé :)) đúng thì đúng mà sai thì thôi nhé :)) cách mình tự chế nhé

đặt \(\frac{a+b}{a^2+bc}+\frac{b+c}{b^2+ac}+\frac{c+a}{c^2+ab}=Pain\)

áp dụng định lí six paths of Pain :) ta có

\(\frac{\left(a+b\right)}{a^2+bc}=\frac{\left(a+b\right)}{\frac{\left(a+b\right)}{\left(a+c\right)}}=\frac{1}{\left(a+c\right)}\) ( định lí Six Paths of Pain ) hì hì  

thay vào ta được :)

\(\frac{1}{a+c}+\frac{1}{b+a}+\frac{1}{c+b}\le\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)

áp dụng cô si sáp cho 2 số ta có

\(\frac{1}{a+c}\le\frac{1}{2}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{c}\right)\) luôn đúng

\(\frac{1}{b+a}\le\frac{1}{2}\left(\frac{1}{b}+\frac{1}{a}\right)\) luôn đúng

\(\frac{1}{c+b}\le\frac{1}{2}\left(\frac{1}{c}+\frac{1}{b}\right)\) luôn đúng

cộng các vế lại ta được và rút 2/2 ta được :))

\(Pain\le\frac{1}{2}\left(\frac{2}{a}+\frac{2}{b}+\frac{2}{c}\right)=\frac{2}{2}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)=\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)

hình như BDT  đã được chứng minh :))

theo bài của bạn Phạm quốc cường ta có :))

\(\frac{a+b}{a^2+bc}+\frac{b+c}{b^2+ac}+\frac{c+a}{c^2+ab}\le\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\) luôn đúng :))

tức là  \(\frac{1}{a+c}+\frac{1}{b+a}+\frac{1}{c+b}=\frac{a+b}{a^2+bc}+\frac{b+c}{b^2+ac}+\frac{c+a}{c^2+ab}\le\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)luôn đúng :))

tức là định Lí six paths of Pain luôn đúng :))

dấu = xảy ra khi nào thì mình éo biết được :))

: các thành phần trẩu tre éo làm thì đừng tích sai cho mình nhé :)) mik ms lớp 7 thôi còn gà lắm :))

           \(\left(x^2-9\right)=12x+1\)

\(\Leftrightarrow\)\(x^2-9-12x-1=0\)

\(\Leftrightarrow\)\(x^2-12x-10=0\)

\(\Leftrightarrow\)\(x^2-12x+36-46=0\)

\(\Leftrightarrow\)\(\left(x-6\right)^2=46\)

\(\Leftrightarrow\)\(\orbr{\begin{cases}x-6=\sqrt{46}\\x-6=-\sqrt{46}\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\)\(\orbr{\begin{cases}x=\sqrt{46}+6\\x=-\sqrt{46}+6\end{cases}}\)

Vậy..

P/S:   mk cx ko bít đúng hay sai nữa, bn tham khảo nha

Chữa đề \(\frac{2017}{4038}< A< \frac{2017}{2018}\)

Ta có: \(A< \frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+...+\frac{1}{2017.2018}\)

\(\Leftrightarrow A< 1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+...+\frac{1}{2017}-\frac{1}{2018}\)

\(\Leftrightarrow A< 1-\frac{1}{2018}=\frac{2017}{2018}\)(1)

Lại có: \(A>\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+...+\frac{1}{2018.2019}\)

\(\Leftrightarrow A>\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...+\frac{1}{2018}-\frac{1}{2019}\)

\(\Leftrightarrow A>\frac{1}{2}-\frac{1}{2019}=\frac{2017}{4038}\)(2) 

Từ (1) và (2) => đpcm

Đặt   \(a=x+4\)  thay vào phương trình ta đc:

              \(\left(a-1\right)^4+\left(a+1\right)^4=16\)

\(\Leftrightarrow\)\(a^4-4a^3+6a^2-4a+1+a^4+4a^3+6a^2+4a+1=16\)

\(\Leftrightarrow\)\(2\left(a^4+6a^2-7\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\)\(2\left(a^2-1\right)\left(a^2+7\right)=0\)

Vì    \(a^2+7\ne0\)

nên     \(a^2-1=0\)

\(\Leftrightarrow\)\(\left(a-1\right)\left(a+1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\)\(\orbr{\begin{cases}a-1=0\\a+1=0\end{cases}}\)\(\Leftrightarrow\)\(\orbr{\begin{cases}a=1\\a=-1\end{cases}}\)

Thay trở lại ta có:

\(\orbr{\begin{cases}x+4=1\\x+4=-1\end{cases}}\)\(\Leftrightarrow\)\(\orbr{\begin{cases}x=-3\\x=-5\end{cases}}\)

Vậy...

(x+3)⁴+(x+5)⁴=16

(x⁴+3⁴)+(x⁴+5⁴)=16

(x⁴+81)+(x⁴+625)

bye k^o biết lam nữa


 

Chúc bạn có 1 ngày vui vẻ!!!

\(\frac{ab+2}{a^0}\)biểu thức hữu tỉ :)))

Gọi vận tốc ôtô thứ nhất là x km/h (x>0) 
=> Vận tốc ôtô thứ hai sẽ là: 2x/3 km/h 
Vì hai xe đi ngược chiều và cùng thời gian nên trong 1 giờ hai xe đã đi được quãng đường dài: 
x + 2x/3 = 5x/5 km 
=>Tổng chiều dài quãng đường AB: 
5x/3 * 5 = 25x/3 km 
=> Thời gian xe thứ nhất đi hết quãng đường AB: 
25x/3 : x = 25/3 h = 8 h 30 phút 
=> Thời gian xe thứ hai đi hết quãng đường AB: 
25x/3 : 2x/3 =25/2 h = 12 h 30 phút

Gọi vận tốc ôtô thứ nhất là x km/h (x>0) 
=> Vận tốc ôtô thứ hai sẽ là: 2x/3 km/h 
Vì hai xe đi ngược chiều và cùng thời gian nên trong 1 giờ hai xe đã đi được quãng đường dài: 
x + 2x/3 = 5x/5 km 
=>Tổng chiều dài quãng đường AB: 
5x/3 * 5 = 25x/3 km 
=> Thời gian xe thứ nhất đi hết quãng đường AB: 
25x/3 : x = 25/3 h = 8 h 30 phút 
=> Thời gian xe thứ hai đi hết quãng đường AB: 
25x/3 : 2x/3 =25/2 h = 12 h 30 phút

Ta có: \(\frac{a^2+b^2}{\left(4a+3b\right)\left(3a+4b\right)}\ge\frac{1}{25}\Leftrightarrow\frac{a^2+b^2}{\left(4a+3b\right)\left(3a+4b\right)}-\frac{1}{25}\ge0\)

\(\Leftrightarrow\frac{25a^2+25b^2-12a^2-25ab-12b^2}{25\left(4a+3b\right)\left(3a+4b\right)}\ge0\)

\(\Leftrightarrow\frac{13a^2-25ab+13b^2}{25\left(4a+3b\right)\left(3a+4b\right)}\ge0\)

\(\Leftrightarrow\frac{13\left(a^2-2.\frac{25}{26}ab+\frac{625}{676}b^2\right)+\frac{51}{52}b^2}{25\left(4a+3b\right)\left(3a+4b\right)}\ge0\)

\(\Leftrightarrow\frac{13\left(a-\frac{25}{26}b\right)^2+\frac{51}{52}b^2}{25\left(4a+3b\right)\left(3a+4b\right)}\ge0\)

Do a, b > 0 nên cả tử và mẫu của phân thức bên vế trái đều lớn hơn 0.

Vậy bất đẳng thức cuối là đúng hay \(\frac{a^2+b^2}{\left(4a+3b\right)\left(3a+4b\right)}\ge\frac{1}{25}\forall a,b>0;a\ne-\frac{3b}{4};b\ne-\frac{4b}{3}\)

Ta có: \(\frac{1}{BE}+\frac{1}{BF}=\frac{1}{BM}\)

\(\Leftrightarrow BF.BM+BE.BM=BE.BF\)

\(\Leftrightarrow BE.BM=BE.BF-BF.BM\)

\(\Leftrightarrow BE.BM=BF.ME\)

\(\Leftrightarrow\frac{BE}{BF}=\frac{ME}{MB}\)

\(\Leftrightarrow\frac{BF+FE}{BE}=\frac{EC}{AB}\)

\(\Leftrightarrow\frac{BF+FE}{BE}=\frac{DC+ED}{AB}\)

\(\Leftrightarrow1+\frac{FE}{BE}=1+\frac{ED}{AB}\)

\(\Leftrightarrow\frac{FE}{BE}=\frac{ED}{AB}\)

(Đúng, theo hệ quả của định lý Talet)

Vậy nên   \(\frac{1}{BE}+\frac{1}{BF}=\frac{1}{BM}\)  (ĐPCM)