a: ΔABC vuông tại A

=>\(AB^2+AC^2=BC^2\)

=>\(AC=\sqrt{13^2-5^2}=12\left(cm\right)\)

Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao

nên \(AH\cdot BC=AB\cdot AC\)

=>\(AH\cdot13=5\cdot12=60\)

=>\(AH=\dfrac{60}{13}\left(cm\right)\)

Xét ΔAHB vuông tại H có 

\(cosBAH=\dfrac{AH}{AB}=\dfrac{60}{13}:5=\dfrac{12}{13}\)

nên \(\widehat{BAH}\simeq23^0\)

\(A=2\sqrt{2}\left(\dfrac{a}{2\sqrt{2b\left(a+b\right)}}+\dfrac{b}{2\sqrt{2c\left(b+c\right)}}+\dfrac{a}{2\sqrt{2a\left(c+a\right)}}\right)\)

\(A\ge2\sqrt{2}\left(\dfrac{a}{2b+a+b}+\dfrac{b}{2c+b+c}+\dfrac{a}{2a+c+a}\right)\)

\(A\ge2\sqrt{2}\left(\dfrac{a^2}{a^2+3ab}+\dfrac{b^2}{b^2+3bc}+\dfrac{c^2}{c^2+3ca}\right)\)

\(A\ge\dfrac{2\sqrt{2}\left(a+b+c\right)^2}{a^2+b^2+c^2+3\left(ab+bc+ca\right)}=\dfrac{2\sqrt{2}\left(a+b+c\right)^2}{\left(a+b+c\right)^2+ab+bc+ca}\)

\(A\ge\dfrac{2\sqrt{2}\left(a+b+c\right)^2}{\left(a+b+c\right)^2+\dfrac{1}{3}\left(a+b+c\right)^2}=\dfrac{3\sqrt{2}}{2}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\) 

Bổ sung các bđt được áp dụng trong bài thầy Lâm cho rõ ràng:

Áp dụng Bđt Cauchy và Bunhiacopxki : 

\(a+3b=2b+\left(a+b\right)\ge2\sqrt[]{2b\left(a+b\right)}\)

\(ab+bc+ca\le\sqrt[]{\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)}=a^2+b^2+c^2\)

Xét ΔAHB vuông tại H có \(tanBAH=\dfrac{BH}{AH}\)

=>\(BH=AH\cdot tanBAH=4\cdot tan28\simeq2,13\left(cm\right)\)

Xét ΔAHC vuông tại H có

\(tanC=\dfrac{AH}{HC}\)

=>\(HC=\dfrac{AH}{tanC}=\dfrac{4}{tan40}\simeq4,77\left(cm\right)\)

ΔAHB vuông tại H

=>\(AH^2+HB^2=AB^2\)

=>\(AB=\sqrt{AH^2+HB^2}\simeq4,53\left(cm\right)\)

ΔAHC vuông tại H

=>\(AH^2+HC^2+AC^2\)

=>\(AC=\sqrt{AH^2+HC^2}\simeq6,23\left(cm\right)\)

ĐKXĐ: \(\left\{{}\begin{matrix}x>=0\\x\ne4\end{matrix}\right.\)

\(P=\left(\dfrac{2}{x-4}+\dfrac{1}{\sqrt{x}+2}\right):\dfrac{1}{\sqrt{x}+2}\)

\(=\dfrac{2+\sqrt{x}-2}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}+2\right)}\cdot\dfrac{\sqrt{x}+2}{1}=\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-2}\)

Để P=3/2 thì \(\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-2}=\dfrac{3}{2}\)

=>\(3\left(\sqrt{x}-2\right)=2\sqrt{x}\)

=>\(3\sqrt{x}-2\sqrt{x}=6\)

=>\(\sqrt{x}=6\)

=>x=36(nhận)

a: 

b: Phương trình hoành độ giao điểm là:

-2x-4=x-1

=>-2x-x=-1+4

=>-3x=3

=>x=-1

Thay x=-1 vào y=x-1, ta được:

y=-1-1=-2

Vậy: Tọa độ giao điểm là A(-1;-2)

a.

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(2x-3y\right)\left(2x-y\right)=0\\6x^2+7xy-5y^2=0\end{matrix}\right.\)

TH1: \(2x-3y=0\Rightarrow y=\dfrac{2}{3}x\) thay vào pt dưới

\(\Rightarrow6x^2+7x.\left(\dfrac{2}{3}x\right)-5\left(\dfrac{2}{3}x\right)^2=0\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{76}{9}x^2=0\Rightarrow x=0\Rightarrow y=0\)

TH2: \(2x-y=0\Rightarrow y=2x\)

Tương tự ta cũng được \(x=0;y=0\)

Vậy hệ có nghiệm duy nhất \(\left(x;y\right)=\left(0;0\right)\)

b.

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}13x^2-39xy+13y^2=-13\\2x^2+xy+3y^2=13\end{matrix}\right.\)

Cộng vế với vế

\(\Rightarrow15x^2-38xy+16y^2=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-2y\right)\left(15x-8y\right)=0\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=2y\\x=\dfrac{8}{15}y\end{matrix}\right.\)

Thay vào pt đầu:

- Với \(x=2y\Rightarrow4y^2-6y^2+y^2=-1\)

\(\Rightarrow y^2=1\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}y=1\Rightarrow x=2\\y=-1\Rightarrow x=-2\end{matrix}\right.\)

- Với \(x=\dfrac{8}{15}y\)

\(\Rightarrow\left(\dfrac{8}{15}y\right)^2-3\left(\dfrac{8}{15}y\right).y+y^2=-1\)

\(\Leftrightarrow-\dfrac{71}{225}y^2=-1\Rightarrow y^2=\dfrac{225}{71}\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}y=\dfrac{15}{\sqrt{71}}\Rightarrow x=\dfrac{8}{\sqrt{71}}\\y=-\dfrac{15}{\sqrt{71}}\Rightarrow x=-\dfrac{8}{\sqrt{71}}\end{matrix}\right.\)

Xét ΔABC vuông tại A có \(sinB=\dfrac{AC}{BC}\)

=>\(\dfrac{6}{BC}=sin30=\dfrac{1}{2}\)

=>\(BC=6\cdot2=12\left(cm\right)\)

\(\left|A+B\right|< =\left|A\right|+\left|B\right|\)

=>\(\left(\left|A+B\right|\right)^2< =\left(\left|A\right|+\left|B\right|\right)^2\)

=>\(A^2+B^2+2AB< =A^2+B^2+2\left|AB\right|\)

=>2AB<=2|AB|

=>AB<=|AB|(luôn đúng)

Dấu '=' xảy ra khi AB>=0

xét ΔABC vuông tại A có \(cosB=\dfrac{AB}{BC}\)

=>\(\dfrac{6}{BC}=cos30=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)

=>\(BC=6\cdot\dfrac{2}{\sqrt{3}}=4\sqrt{3}\left(cm\right)\)