cho 1 tam giác có độ dài 3 cạnh là 1 số nguyên tạo thành 1 cấp số cộng có công sai d>0. Tính độ dài các cạnh của tam giác đó biết rằng bán kính đường tròn nội tiếp của tam giác đó bằng 3

Nếu a+2b+3c=0 và a+c=0 thì phương trình asinx+bcos2x+c=0 có ít nhất 1 nghiệm trong khoảng (0;\(\frac{\pi}{6}\))

từ các chứ số 1,2,3,4,5 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số, trong đó chữ số 3 có mặt đúng 3 lần, các chữ số còn lại có mặt không quá 1 lần. Trong các số tự nhiên nói trêntìm xác suất để số được chọn chia hết cho 3

Cho hàm số f(x)=\(a_1sinx+a_2sin2x+a_3sin3x+...+a_nsinnx\). Chứng minh rằng nếu \(|f\left(x\right)|\le|sinx|\); với mọi x\(\in\)\([-1;1]\)thì \(|a_1+2a_2+3a_3+...+na_n|\le1\)

 Tìm giới hạn sau:

\(lim\frac{2^3+2^4+...+2^{n-1}}{1+5+5^2+...+5^{n+1}}\) 

tồn tại hay không số nguyên dương m,n,p thỏa mãn đồng thời các điều kiện (m+n,mn-1)=1, (m-n; mn+1)=1 và \(\text{(m+n)^2+(mn-1)^2=p^2}\)?.  (Trong đó (a,b) là ước chung lớn nhất của 2 số nguyên dương a và b)

cho các số thực dương x,y,z. Chứng minh rằng \(\frac{x^2y\left(y-z\right)}{x+y}+\frac{y^2z\left(z-x\right)}{y+z}+\frac{z^2x\left(x-y\right)}{z+x}\ge0\)

cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn a+b+c=ab+bc+ac. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P=\frac{a^2}{a^2+3bc}+\frac{b^2}{b^2+3ac}+\frac{c^2}{c^2+3ab}+\sqrt{a+b+c}\)

cho hàm số y=f(x) liên tục trên [0;1]. Chứng minh phương trình f(x)+[f(1)-f(0)]x=f(1) có ít nhất 1 nghiệm thuộc [0;1]