Lời giải:
\(\sqrt{41-12\sqrt{5}}+\sqrt{41-12\sqrt{5}}=2\sqrt{41-12\sqrt{5}}=2\sqrt{6^2-2.6\sqrt{5}+5}\)

\(=2\sqrt{(6-\sqrt{5})^2}=2|6-\sqrt{5}|=2(6-\sqrt{5})\)

\(=\sqrt{41-2.6\sqrt{5}}+\sqrt{41-2.6\sqrt{5}}\)

\(=\sqrt{\left(6-\sqrt{5}\right)^2}+\sqrt{\left(6-\sqrt{5}\right)^2}=\left|6-\sqrt{5}\right|+\left|6-\sqrt{5}\right|=2\left(6-\sqrt{5}\right)=12-2\sqrt{5}\)

Lời giải:
Vì $D,E,F$ là trung điểm của $AB,AC,BC$ nên:

$DE$ là đường trung bình của tam giác $ABC$ ứng với cạnh $BC$

$EF$ là đường trung bình của tam giác $ABC$ ứng với cạnh $AB$

$DF$ là đường trung bình của tam giác $ABC$ ứng với cạnh $AC$

Suy ra:

$DE=\frac{1}{2}BC=7$ (cm) 

$EF=\frac{1}{2}AB=3$ (cm) 

$DF=\frac{1}{2}AC=5$ (cm) 

Chu vi tam giác $DEF$: $7+3+5=15$ (cm)

Hình vẽ:

Gọi 3 số tự nhiên liên tiếp là : \(x-1;x;x+1\). Ta có :

\(x\left(x-1\right)+x\left(x+1\right)+\left(x-1\right)\left(x+1\right)=43\)

Sau khi rút gọn, ta được

\(3x^2-1-43\) nên \(x^2=\dfrac{44}{3}\)

\(\Leftrightarrow\) Không tính được \(x\)

Sai đề ?

\(x^3-x^2=4x^2-8x+4\)

=> \(x^2\left(x-1\right)=4\left(x^2-2x+1\right)\)

=> \(x^2\left(x-1\right)=4\left(x-1\right)^2\)

=> \(x^2\left(x-1\right)-4\left(x-1\right)^2=0\)

=> \(\left(x-1\right)\left(x^2-4x+4\right)=0\)

=> \(\left(x-1\right)\left(x-2\right)^2=0\)

=> \(x-1=0\) hoặc \(x-2=0\)

=> x = 1 hoặc x = 2

\(x^3-x^2=4x^2-8x+4\)

\(\Leftrightarrow x^2\left(x-1\right)=4\left(x-1\right)^2\)

\(\Leftrightarrow x^2\left(x-1\right)-\left(4x-4\right)\left(x-1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(x^2-4x+4\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(x-2\right)^2=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x-1=0\\\left(x-2\right)^2=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=1\\x=2\end{matrix}\right.\)

Vậy \(S=\left\{1;2\right\}\)

\(x^2+4x-x^2+x=5\Leftrightarrow5x=5\Leftrightarrow x=1\)

\(x^2-x-6-x^2+3x+4=6\Leftrightarrow2x-2=6\Leftrightarrow x=4\)

`(x+4).x -(x-1).x = 5`

`x^2+4x - x^2 + x = 5`

`=> 5x = 5`

`=> x=1`

________________________

`(x+2)(x-3)-(x-4)(x+1)=6`

`x^2-x-6 - x^2-3x-4=6`

`-4x - 10=6`

`=> -4x = 16`

`=> x = -4`

Áp dụng BĐT Caushy ta có:

\(\left\{{}\begin{matrix}a^2+4\ge4a\\b^2+4\ge4b\\6\left(a^2+b^2\right)\ge6.2ab=12ab\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow7\left(a^2+b^2\right)+8\ge4a+4b+12ab=4\left(a+b+3ab\right)=4.16=64\)

\(\Rightarrow7A\ge56\Rightarrow A\ge8\)

Vậy GTNN của biểu thức \(A=a^2+b^2\) là 8, đạt được khi \(a=b=2\).

A = n² + n + 2 

giả sử A chia hết cho 6  (phương pháp phản chứng , giả sử điều gì đó là đúng dẫn đến điều khác là đúng nhưng điều khác không bao giờ đúng dẫn đến điều giả sử là sai gọi là phản chứng )

     giả sử A ⋮ 6 ⇔ A ⋮ 3 ⇔ n² + n + 2 ⋮ 3  ⇔ n² + n : 3 dư 1 

nếu n ⋮ 3 ⇔ n² + n  ⋮ 3 (vô lý)

nếu n chia 3 dư 1 ⇔ n² : 3 dư 1 (một số chính phương chia 3 chỉ có thể dư 1 hoặc không dư )

⇔ n² + n : 3 dư 2 (vô lý)

nếu n : 3 dư 2 ⇔ n² : 3 dư 1 ( 1 số chính phương chia cho 3 chỉ có thể dư 1 hoặc không dư)

⇔ n² + n ⋮ 3 (vô lý)

vậy n² + n + 2 không chia hết cho 6 

A = (5n-3)(4n+5)-4n(5n-3)-(8n+19)

A = (5n-3)(4n+5-4n) -8n -19

A = 5 (5n-3) -8n - 19

A = 25n - 15 -8m -19

A = 17n - 34

A = 17 (n-2)

⇔ A ⋮ 17 ∀ n ϵ N

Lúc sau cả hai kho cùng có số bao :

`120:2=60(bao)`

Kho thứ `1` lúc đầu có :

`60 + 20 = 80(bao)`

Kho thứ `2` lúc đầu có:

`120-80=40(bao)`

Đ/s...

số thóc kho 1 lúc sau là 120 : 2 = 60 (bao)

số thóc kho 1 lúc đàu là 60 + 20 = 80 (bao)

số thóc kho 2 lúc đầu là 120 - 80 = 40 (bao)

đs.....

Từ 4 chữ số: 1; 2; 3 và 4 có thể lập được 4*3*2*1=24 số có 4 chữ số khác nhau. Nên nếu viết 25 số tự nhiên có 4 chữ số sẽ có ít nhất 2 số bằng nhau

P/s: Đề bài chắc muốn hổi 25 số tự nhiên có 4 chữ số?  

đề bài chưa rõ, 2 số bằng nhau hay 2 chữ số