Cho \(xy=1\)và \(x,y>0\)

Tìm \(M_{max}=\frac{x}{x^4+y^2}+\frac{y}{x^2+y^4}\)

\(M=\frac{x}{x^4+\frac{1}{x^2}}+\frac{x}{y^2+\frac{1}{y^2}}\)

\(M=\frac{x^4}{x^6+1}+\frac{y^3}{y^6+1}\)

Áp dụng BĐT Cauchy

\(x^6+1\ge2x^3=>\frac{x^2}{x^6+1}\le\frac{1}{2}\)

Tương tự \(\frac{y^3}{y^6+1}\le\frac{1}{2}\)

\(=>M\le1\)

Dấu "=" xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}xy=1\\x=1\\y=1\end{cases}}\Leftrightarrow x=y=1\)

Vậy \(M_{max}=1\)khi \(x=y=1\)

Tìm điểm rơi: ( a; b ; c ) = ( -3; 3; 0 ) hoặc ( 3; -3 ; 0 ) 

Xét: 2A + 3.18 ≥≥  \(2\left(3ab+bc+ca\right)+3\left(a^2+b^2+c^2\right)=\left(a+b+c\right)^2+2\left(a+b\right)^2+2c^2\text{≥}0\) đúng

Nháp :

\(k\left(a+b+c\right)^2+m\left(a+b\right)^2+nc^2\)

\(k+m=3\)

\(n+k=3\)

Chịu thì tôi ra đáp án

=8\(\sqrt{\sqrt[5]{a}\sqrt{7}}\)

what are you doing??

Cho đường thẳng: (d): y = (2m – 1)x + m – 2.

1) Tìm m để đường thẳng (d):

a.  Đi qua điểm A(1; 6).    

Thay x=1 , y=6 vào đừng thẳng (d),ta được:

    (2m-1).1+m-2=6

<=>2m-1+m-2=6

<=>3m=9

<=>m=3

b.  Song song với đường thẳng 2x + 3y – 5 = 0.

Ta có : 2x + 3y -5 =0

<=>3y=-2x+5

<=>y=\(\frac{-2}{3}\)x+\(\frac{5}{3}\)

Để (d) // y=\(\frac{-2}{3}\)x+\(\frac{5}{3}\)Thì ;

\(\hept{\begin{cases}2m-1=\frac{-2}{3}\\m-2\ne\frac{5}{3}\end{cases}}\)<=>\(\hept{\begin{cases}2m=\frac{1}{3}\\m\ne\frac{5}{3}+2\end{cases}}\)<=>\(\hept{\begin{cases}m=\frac{1}{6}\\m\ne\frac{11}{3}\end{cases}}\)<=>m=\(\frac{1}{6}\)

c.  Vuông góc với đường thẳng x + 2y + 1 = 0.  

Ta có :  x + 2y +1 =0

<=>2y=-x-1

<=>y=\(\frac{-1}{2}\)x + \(\frac{-1}{2}\)

Để (d) Vuông góc với y=\(\frac{-1}{2}\)x + \(\frac{-1}{2}\)thì:

(2m-1).\(\frac{-1}{2}\)=-1

<=>2m-1=2

<=>2m=3

<=>m=\(\frac{3}{2}\)

2) Tìm điểm cố định mà (d) luôn đi qua với mọi m.

2) Tìm điểm cố định mà (d) luôn đi qua với mọi m.

Gọi M(x₀; y₀) là điểm cố định mà đường thẳng (d) luôn đi qua. Khi đó ta có:

⇔ y₀ = (2m - 1)x₀ + m -2 với mọi m

⇔ y₀ = 2mx₀ - x₀ + m -2 với mọi m

⇔ y₀ - 2mx₀ + x₀ - m +2 = 0 với mọi m

⇔ m(-2x₀ - 1) + (y₀ + x\(_0\)+2) = 0 với mọi m

<=>\(\hept{\begin{cases}-2x_0-1=0\\y_0+x_0+2=0\end{cases}}\)<=>\(\hept{\begin{cases}x_0=\frac{-1}{2}\\y_0=0-2+\frac{-1}{2}\end{cases}}\)<=>\(\hept{\begin{cases}x_0=\frac{-1}{2}\\y_0=\frac{-5}{2}\end{cases}}\)

Vậy điểm cố định mà (d) luôn đi qua là M(\(\frac{-1}{2}\);\(\frac{-5}{2}\))