tìm tất cả các số nguyên dương nhỏ hơn 10000 mà bình phương của nó chia cho 17 dư 9.
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
133333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333
Chi biết làm câu 2 :
Theo bất đăngr thức AM - GM :
\(a^4+b^2+2ab^2>2\sqrt{a^4b^2}+2ab^2=2a^2b+2ab^2.\)
\(b^4+a^2+2a^2b>2\sqrt{a^2b^4}+2a^2b=2ab^2+2a^2b\)
\(Q< \frac{1}{2a^2b+2ab^2}+\frac{1}{2ab^2+2a^2b}\)
Lại có : \(\left(a+b\right)\left(a+b-1\right)=a^2+b^2\)
\(a^2+2ab-a+b^2-b=a^2+b^2\)
\(2ab=a+b>2\sqrt{ab}=\hept{\begin{cases}ab>1\\a+b>2\sqrt{ab}>2\end{cases}}\)
Khi đó :
\(Q=\frac{1}{2a^2b+2ab^2}+\frac{1}{2ab^2+2a^2b}=\frac{1}{4}+\frac{1}{4}=\frac{1}{2}\)
Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=1\)
ĐK : \(x\ge0,x\ne1\)
\(G=\left[\frac{\sqrt{x}-2}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}-\frac{\sqrt{x}+2}{\left(\sqrt{x}+1\right)^2}\right].\frac{\left(x-1\right)^2}{2}\)
\(=\frac{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}+1\right)-\left(\sqrt{x}+2\right)\left(\sqrt{x}-1\right)}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)^2}.\frac{\left(x-1\right)^2}{2}\)
\(=\frac{x-\sqrt{x}-2-x-\sqrt{x}+2}{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(x-1\right)}.\frac{\left(x-1\right)^2}{2}\)
\(=\frac{-2\sqrt{x}.\left(x-1\right)}{2\left(\sqrt{x}+1\right)}=\frac{-2\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}{2\left(\sqrt{x}+1\right)}\)
\(=-\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-1\right)\)
Theo bất đẳng thức Cauuchy ta có :
\(\frac{a}{b}< \left(\frac{a+b}{2}\right)< \frac{1}{4}=-ab>-\frac{1}{4}.\)
Do đó ta được biểu thức :
\(A=16ab+\frac{1}{ab}-15ab>2\sqrt{16ab.\frac{1}{ab}}-15ab>8-15.\frac{1}{4}=\frac{17}{4}\)
Dấu đẳng thức xảy ra chỉ khi \(a=b=\frac{1}{2}\)
Vậy \(A_{min}=\frac{17}{4}\)