Ta có: \(a^3+b^3=2021c^3\)\(\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3=2022c^3\)

Mà \(2022⋮3\)\(\Rightarrow2022c^3⋮3\)\(\Rightarrow a^3+b^3+c^3⋮3\)

Mặt khác \(\left(a^3+b^3+c^3\right)-\left(a+b+c\right)\)\(=\left(a^3-a\right)+\left(b^3-b\right)+\left(c^3-c\right)\)

\(=a\left(a^2-1\right)+b\left(b^2-1\right)+c\left(c^2-1\right)\)

\(=a\left(a-1\right)\left(a+1\right)+b\left(b-1\right)\left(b+1\right)+c\left(c-1\right)\left(c+1\right)\)

Vì \(a,a-1,a+1\)là 3 số liên tiếp nên trong 3 số này luôn tồn tại một bội của 3

\(\Rightarrow a\left(a-1\right)\left(a+1\right)⋮3\)

Tương tự, ta cũng có \(b\left(b-1\right)\left(b+1\right)⋮3\)và \(c\left(c-1\right)\left(c+1\right)⋮3\)

\(\Rightarrow a\left(a-1\right)\left(a+1\right)+b\left(b-1\right)\left(b+1\right)+c\left(c-1\right)\left(c+1\right)⋮3\)

\(\Rightarrow\left(a^3+b^3+c^3\right)-\left(a+b+c\right)⋮3\)

Mà \(a^3+b^3+c^3⋮3\left(cmt\right)\)\(\Rightarrow a+b+c⋮3\left(đpcm\right)\)

Answer:

Bài 2 mình không biết làm, bạn thông cảm ạ.

Bài 3:

P đạt giá trị nguyên khi \(3⋮\sqrt{x}-2\)

\(\Rightarrow\sqrt{x}-2\inƯ\left(3\right)=\left\{\pm1;\pm3\right\}\)

\(\Rightarrow\sqrt{x}=\left\{1;3;5\right\}\)

\(\Rightarrow x=\left\{1;9;25\right\}\)

14256 + 89523 = 103779

đợi tý đang tính

Điều kiện \(x,y\ne-1\)

Xét phương trình thứ hai: 

\(xy+x+y=3\)\(\Leftrightarrow xy+x+y+1=4\)\(\Leftrightarrow x\left(y+1\right)+\left(y+1\right)=4\)\(\Leftrightarrow\left(x+1\right)\left(y+1\right)=4\)

Như vậy hệ đã cho \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}=1\\\left(x+1\right)\left(y+1\right)=4\end{cases}}\)(*)

Đặt \(\hept{\begin{cases}x+1=a\\y+1=b\end{cases}\left(a,b\ne0\right)}\), lúc này (*) \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=1\\ab=4\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\frac{a+b}{ab}=1\\ab=4\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\frac{a+b}{4}=1\\b=\frac{4}{a}\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a+\frac{4}{a}=4\left(1\right)\\b=\frac{4}{a}\left(2\right)\end{cases}}\)

Giải phương trình \(\left(1\right)\), ta có: \(a+\frac{4}{a}=4\)\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{a}\right)^2-2.\sqrt{a}.\frac{2}{\sqrt{a}}+\left(\frac{2}{\sqrt{a}}\right)^2=0\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{a}-\frac{2}{\sqrt{a}}\right)^2=0\)\(\Leftrightarrow\sqrt{a}-\frac{2}{\sqrt{a}}=0\)\(\Leftrightarrow\sqrt{a}=\frac{2}{\sqrt{a}}\)\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{a}\right)^2=2\)\(\Leftrightarrow a=2\)(nhận)

Thay vào \(\left(2\right)\), ta có: \(b=\frac{4}{a}=\frac{4}{2}=2\)(nhận)

Như vậy ta có \(a=b=2\)\(\Leftrightarrow x+1=y+1=2\)\(\Leftrightarrow x=y=1\)(nhận)

Vậy hệ đã cho có nghiệm duy nhất (1;1)