1) ∆ABC vuông tại A, AH là đường cao

⇒ AH² = BH.CH = 4.9 = 36

⇒ AH = 6 (cm)

tanB = AH/BH = 6/4 = 3/2

⇒ ∠B ≈ 56⁰

2) a)

Do D, E lần lượt hình chiếu của H lên AB, AC

⇒ HD ⊥ AB và HE ⊥ AC

Tứ giác ADHE có:

∠HEA = ∠EAD = ∠ADH = 90⁰

⇒ ADHE là hình chữ nhật

giup mih voi sos:(

1.

6x + 1 ≥0

<=>6x≥-1

<=>x≥-1/6

2.

3x - 5 > 0 

<=> 3x > 5

<=> x > 5/3

3.

x - 7 > 0

<=> x > 7

4. 

-3x ≥0

<=>x≤0

Lời giải:
ĐKXĐ: $x\geq -2$

PT $\Leftrightarrow 2\sqrt{x+2}+3\sqrt{4}.\sqrt{x+2}-\sqrt{9}.\sqrt{x+2}=10$

$\Leftrightarrow 2\sqrt{x+2}+6\sqrt{x+2}-3\sqrt{x+2}=10$

$\Leftrightarrow 5\sqrt{x+2}=10$

$\Leftrightarrow \sqrt{x+2}=2$

$\Leftrightarrow x+2=4$

$\Leftrightarrow x=2$ (tm)

Lời giải:
a. Hệ số 2>0 nên hàm đồng biến 

b. Hệ số $1-\sqrt{2}<0$ nên hàm nghịch biến 

c. Hệ số $-5<0$ nên hàm nghịch biến 

d. Hệ số $1+m^2>0$ với mọi $m\in\mathbb{R}$ nên hàm đồng biến

e. Hệ số $\sqrt{3}-1>0$ nên hàm đồng biến 

f. Hệ số $2+m^2>0$ với mọi $m\in\mathbb{R}$ nên hàm đồng biến.

Tứ giác ESTH có \(\widehat{ETH}=\widehat{ESH}=90^o\) nên ESTH nội tiếp.

\(\Rightarrow\widehat{TSH}=\widehat{TEH}=\widehat{FEH}\)

Mà tứ giác AEHF nội tiếp \(\left(\widehat{AFH}=\widehat{AEH}=90^o\right)\) nên \(\widehat{FEH}=\widehat{FAH}\).

 Từ đó suy ra \(\widehat{TSH}=\widehat{FAH}\) \(\Rightarrow\) TS//AB.

Mặt khác, tứ giác FTHK nội tiếp \(\left(\widehat{FTH}=\widehat{FKH}=90^o\right)\) nên \(\widehat{FTK}=\widehat{FHK}\) \(=90^o-\widehat{DFH}\) \(=90^o-\widehat{HBD}\) \(=\widehat{BHD}\) \(=\widehat{AHE}\) \(=\widehat{AFE}\) \(=\widehat{AFT}\) nên TK//AB. 

Từ đó suy ra K, T, S thẳng hàng (tiên đề Euclid)

Dễ dàng chứng minh tứ giác HKFT nội tiếp: => \(\widehat{HTK}=\widehat{HFK}\)
Dễ dàng chứng minh tứ giác AFDC nội tiếp: => \(\overline{\widehat{HFK}=\widehat{HAE}}\)
Mà \(\widehat{HAE}=\widehat{HES}\) và \(\widehat{HES}+\widehat{HTS}=180\) (Dễ dàng c/m tứ giác HTSE nội tiếp)
Nên \(\widehat{HTK}+\widehat{HTS}=180\)=> 3 điểm K,T,S thẳng hàng
(Nếu chưa học tứ giác nội tiếp thì kéo dài FK và TH cắt tại điểm nào đó rồi chứng minh tam giác đồng dạng và suy ra góc như trên, tứ giác AFDC cũng vậy )

Xét tam giác ABC vuông tại A ta có:

\(AB^2=BC\cdot BH\)

\(\Rightarrow BH=\dfrac{AB^2}{BC}=\dfrac{\left(\dfrac{2}{3}\right)^2}{12}=\dfrac{1}{27}\left(cm\right)\)  

Mà: \(BC=CH+BH\)

\(\Rightarrow CH=12-\dfrac{1}{27}=\dfrac{323}{27}\left(cm\right)\)  

\(AC^2=BC\cdot CH\)

\(\Rightarrow AC=\sqrt{BC\cdot CH}=\sqrt{12\cdot\dfrac{323}{27}}=\dfrac{2\sqrt{323}}{3}\left(cm\right)\) 

Mà: \(AH\cdot BC=AB\cdot AC\)

\(\Rightarrow AH=\dfrac{AB\cdot AC}{BC}=\dfrac{\dfrac{2}{3}\cdot\dfrac{2\sqrt{323}}{3}}{12}=\dfrac{\sqrt{323}}{27}\left(cm\right)\)