\(x-5.\left(x-2\right)=6.x\)

\(\Leftrightarrow x-5.x+10=6.x\)

\(\Leftrightarrow-4.x+10=6.x\)

\(\Leftrightarrow-4.x-6.x=-10\)

\(\Leftrightarrow-10.x=-10\)

\(\Leftrightarrow x=1\)

Vậy : phương trình có tập nghiệm : S= 1

\(x-5\left(x-2\right)=6x\)

\(\Leftrightarrow x-5x+10=6x\)

\(\Leftrightarrow10x=10\)

\(\Leftrightarrow x=1\)

Vậy : \(x=1\)

Bài 1:

a) Xét tam giác ABC có M là trung điểm của AB (gt) ,E là trung điểm của AC (gt)

\(\Rightarrow ME\)là đường trung bình tam giác ABC

\(\Rightarrow ME=\frac{1}{2}BC\left(tc\right)\left(1\right)\)

Xét tam giác ADC có E là trung điểm của AC (gt) ,P là trung điểm của DC (gt)

\(\Rightarrow PE\)là đường trung bình của tam giác ADC

\(\Rightarrow PE=\frac{1}{2}AD\left(tc\right)\left(2\right)\)

mà \(AD=BC\left(gt\right)\left(3\right)\)

Từ (1) , (2) và (3) \(\Rightarrow EM=PE\)

CMTT: \(PE=FP,FM=ME\)

\(\Rightarrow ME=EP=PF=FM\)

Xét tứ giác MEPF có:

\(ME=EP=PF=FM\left(cmt\right)\)

\(\Rightarrow MEPF\)là hình thoi ( dhnb)

 b) Vì \(MEPF\)là hình thoi (cmt)

\(\Rightarrow FE\)giao với MP tại trung điểm mỗi đường (tc)  (4)

Xét tam giác ADB có M là trung điểm của AB(gt) ,Q là trung điểm của AD (gt)

\(\Rightarrow MQ\)là đường trung bình của tam giác ADB

\(\Rightarrow MQ//DB,MQ=\frac{1}{2}DB\left(tc\right)\left(5\right)\)

Xét tam giác BDC có N là trung điểm của BC(gt) , P là trung điểm của DC(gt)

\(\Rightarrow NP\)là đường trung bình của tam giác BDC

\(\Rightarrow NP//DB,NP=\frac{1}{2}DB\left(tc\right)\left(6\right)\)

Từ (5) và (6) \(\Rightarrow MQ//PN,MQ=PN\)

Xét tứ giác MQPN có \(\Rightarrow MQ//PN,MQ=PN\)

\(\Rightarrow MQPN\)là hình bình hành (dhnb)

\(\Rightarrow MP\)giao QN tại trung điểm mỗi đường (tc) (7)

Từ (4) và (7) \(\Rightarrow MP,NQ,EF\)cắt nhau tại một điểm 

c) Xét tam giác ABD có Q là trung điểm của AD (gt), F là trung điểm của BD(gt)

\(\Rightarrow QF\)là đường trung bình của tam giác ADB

\(\Rightarrow QF//AB\left(8\right)\)

CMTT: \(FN//CD\)và \(EN//AB\)

Mà Q,F,E,N thẳng hàng 

\(\Rightarrow AB//CD\)

Vậy để Q,F,E,N thẳng hàng thì tứ giác ABCD phải thêm điều kiện  \(AB//CD\)

Tối về mình làm nốt  nhé giờ mình có việc 

\(3\left(x-1\right)^2-x^2+1=0\)

\(\Leftrightarrow3\left(x-1\right)^2-\left(x^2-1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow3\left(x-1\right)^2-\left(x-1\right)\left(x+1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left[3\left(x-1\right)-\left(x+1\right)\right]=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(3x-3-x-1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(2x-4\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x-1=0\\2x-4=0\end{cases}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=1\\2x=4\end{cases}\Leftrightarrow}\orbr{\begin{cases}x=1\\x=2\end{cases}}}\)

Đổi: 36 phút = \(\frac{3}{5}\)giờ

Gọi thời gian lúc đi là t (giờ) ( \(t\inℕ^∗\))

Vì thời gian đi ít hơn thời gian về là 36 phút hay \(\frac{3}{5}\)giờ

\(\Rightarrow\)Thời gian về là \(t+\frac{3}{5}\)(giờ)

Theo để bài, ta có phương trình: \(50t=40\left(t+\frac{3}{5}\right)\)

\(\Leftrightarrow50t=40t+40.\frac{3}{5}\)\(\Leftrightarrow50t=40t+24\)

\(\Leftrightarrow50t-40t=24\)\(\Leftrightarrow10t=24\)\(\Leftrightarrow t=2,4\)( giờ )

\(\Rightarrow\)Quãng đường AB dài: \(50.2,4=120\)(km)

Vậy quãng đường AB dài 120 km

Gọi t(h) là thời gian đi ( t>0,5)

- Quãng đường AB ( tính theo lúc đi) 35t

- Quãng đường AB(tính theo lúc về) 42(t-0,5)

Ta có phương trình: 35t=42(t−0,5)35t=42(t−0,5)

giải phương trình: 35t=42(t−0,5)35t=42(t−0,5)

⇔35t=42t−21⇔35t=42t−21

⇔−7t=−21⇔−7t=−21

⇔t=3⇔t=3

Quãng đường AB dài là: 35.3=105(km)

\(\left(x+7\right)\left(x-4\right)=2\left(x-4\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(x+7\right)\left(x-4\right)-2\left(x-4\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-4\right)\left(x+7-2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-4\right)\left(x+5\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x-4=0\\x+5=0\end{cases}\Leftrightarrow}\orbr{\begin{cases}x=4\\x=-5\end{cases}}\)

Vậy : \(x\in\left\{4,-5\right\}\)

\(\left(x+7\right)\left(x-4\right)=2\left(x-4\right)\)

\(\Leftrightarrow x^2-4x+7x-28=2x-8\)

\(\Leftrightarrow x^2+3x-28=2x-8\)

\(\Leftrightarrow x^2+3x-28-2x+8=0\)

\(\Leftrightarrow x^2+x-20=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-4\right)\left(x+5\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x-4=0\\x+5=0\end{cases}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=4\\x=-5\end{cases}}}\)

Vậy \(x\in\left\{4;-5\right\}\)

\(x^4+2x^2y+y^2-9\)

\(=\left(x^2+y\right)^2-3^2\)

\(=\left(x^2+y-3\right)\left(x^2+y+3\right)\)

\(x^4+2x^2y+y^2-9\)

\(=\left(x^2\right)^2+2.x^2.y+y^2-3^2\)

\(=\left(x^2+y\right)^2-3^2\)

\(=\left(x^2+y-3\right)\left(x^2+y+3\right)\)

Theo giả thiết, ta có: \(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2=a^2b^2c^2\Leftrightarrow\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}=1\)

Áp dụng BĐT AM - GM cho 5 số, ta được: \(\hept{\begin{cases}a.a.a.b.b\le\frac{a^5+a^5+a^5+b^5+b^5}{5}=\frac{3a^5+2b^5}{5}\\b.b.b.a.a\le\frac{b^5+b^5+b^5+a^5+a^5}{5}=\frac{3b^5+2a^5}{5}\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\frac{5\left(a^5+b^5\right)}{5}\ge a^2b^2\left(a+b\right)\)hay \(a^5+b^5\ge a^2b^2\left(a+b\right)\)

\(\Rightarrow\frac{1}{\sqrt{a^5+b^5}}\le\frac{1}{ab\sqrt{a+b}}\)(1) .

Tương tự, ta có: \(\frac{1}{\sqrt{b^5+c^5}}\le\frac{1}{bc\sqrt{b+c}}\)(2); \(\frac{1}{\sqrt{c^5+a^5}}\le\frac{1}{ca\sqrt{c+a}}\)(3)

Cộng theo vế của 3 BĐT (1), (2), (3), ta được: \(VT=\Sigma_{cyc}\frac{1}{\sqrt{a^5+b^5}}\le\Sigma_{cyc}\frac{1}{ab\sqrt{a+b}}\)()

Xét \(\left(\Sigma_{cyc}\frac{1}{ab\sqrt{a+b}}\right)^2\le\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\right)\left(\Sigma_{cyc}\frac{1}{b^2\left(a+b\right)}\right)\)\(=\Sigma_{cyc}\frac{1}{b^2\left(a+b\right)}\Rightarrow\Sigma_{cyc}\frac{1}{ab\sqrt{a+b}}\le\sqrt{\Sigma_{cyc}\frac{1}{b^2\left(a+b\right)}}\)(2)

Từ (1) và (2) suy ra \(\Sigma_{cyc}\frac{1}{\sqrt{a^5+b^5}}\le\sqrt{\Sigma_{cyc}\frac{1}{b^2\left(a+b\right)}}\)(đpcm)

Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c=\sqrt{3}\)