Đặt: \(A=\dfrac{222}{222^2+1}>0,B=\dfrac{223}{223^2+1}>0\)

Xét: 

\(\dfrac{1}{A}=\dfrac{222^2+1}{222}=222+\dfrac{1}{222}\\ \dfrac{1}{B}=\dfrac{223^2+1}{223}=223+\dfrac{1}{223}\)

Dễ dàng nhận thấy: \(\dfrac{1}{A}=222+\dfrac{1}{222}< 222+1< 222+1+\dfrac{1}{223}=\dfrac{1}{B}\)

hay \(\dfrac{1}{A}< \dfrac{1}{B}\Rightarrow A>B\)

Vậy: \(\dfrac{222}{222^2+1}>\dfrac{223}{223^2+1}\)

Lời giải:
Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:

$(\sqrt{2a+b}+\sqrt{2b+c}+\sqrt{2c+a})^2\leq [(2a+b)+(2b+c)+(2c+a)](1+1+1)=3(a+b+c).3=9(a+b+c)=81$

$\Rightarrow \sqrt{2a+b}+\sqrt{2b+c}+\sqrt{2c+a}\leq 9$

Vậy ta có đpcm

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=3$

câu a) \(\dfrac{999\cdot\left(999+1\right)}{2}=49950\)

câu b) số hạng thứ 50 là: 1 + (50 - 1) x 3 = 148

tổng của 50 số hạng là: 

\(\dfrac{50}{2}\cdot\left(1+148\right)\)

\(25\cdot149=3725\)

câu c) số các số hạng từ 100 đến 999 là:

999 - 100 + 1 = 900

tổng tất cả số có 3 chữ số là:

\(\dfrac{900}{2}\cdot\left(100+999\right)=450\cdot1099=494550\)

đáp số: a) 499500

b) 3725

c) 494550

a) số học sinh giỏi là: \(\dfrac{9}{16}\cdot800=450\left(HS\right)\)

số học sinh khá là: \(\dfrac{5}{9}\cdot450=250\left(HS\right)\)

b) số HS trung bình là: 800 - 450 - 250 = 100 (HS)

phần trăm số HS trung  bình so với tổng số HS là:

\(\dfrac{100}{800}\cdot100\%=12,5\%\)

c) số HS trường B có là: \(800:\dfrac{8}{9}=900\left(HS\right)\)

ủa đây là toán 5 mà

số hạng từ trang 1 đến trang 9 là: 9 - 1 + 1 = 9 (số hạng)

số chữ số từ trang 1 đến trang 9 là: 9 x 1 = 9 (chữ số)

*vì có 1 chữ số nên nhân với 1

số hạng từ trang 10 đến trang 99 là: 99 - 10 + 1 = 90 (số hạng)

số chữ số từ trang 10 đến trang 99 là: 90 x 2 = 180 (chữ số)

*vì có 2 chữ số nên nhân với 2

số hạng từ trang 100 đến trang 552 là: 552 - 100 + 1 = 453 (số hạng)

số chữ số từ trang 100 đến trang 552 là: 453 x 3 = 1359 (chữ số)

*vì có 3 chữ số nên nhân với 3

số chữ số mà người ta cần dùng là:

9 + 180 + 1359 = 1548 (chữ số)

ĐÁP SỐ: ...

Số chữ số người ta dùng để đánh số cho trang có 1 chữ số là: \(\left(9-1+1\right)\times1=9\)(chữ số)

Số chữ số người ta dùng để đánh số cho trang có 2 chữ số là:  \(\left(99-10+1\right)\times2=180\)(chữ số)

Số chữ số người ta dùng để đánh số cho trang có 3 chữ số là: \(\left(552-100+1\right)\times3=1359\)(chữ số)

Tổng số chữ số cần dùng là:

1359+180+9=1548(chữ số)

a: Xét ΔBAI vuông tại A và ΔBDI vuông tại D có

BI chung

BA=BD

Do đó: ΔBAI=ΔBDI

=>\(\widehat{ABI}=\widehat{DBI}\)

=>BI là phân giác của góc ABC

b: Ta có: ΔBAD cân tại B

mà BI là đường phân giác

nên BI\(\perp\)AD

c: Ta có: \(\widehat{ABI}+\widehat{AIB}=90^0\)(ΔABI vuông tại A)

\(\widehat{DBK}+\widehat{EBH}=90^0\)(ΔHBE vuông tại H)

mà \(\widehat{ABI}=\widehat{EBH}\)

nên \(\widehat{AIB}=\widehat{BEH}\)

=>\(\widehat{AIE}=\widehat{AEI}\)

=>ΔAEI cân tại A

ΔAEI cân tại A

mà AK là đường cao

nên K là trung điểm của EI

nhờ mọi người giải giúp em với ạ,em đang cần gấp

1/

$x^2y=x-y+1$

$\Leftrightarrow y(x^2+1)=x+1$

$\Leftrightarrow y=\frac{x+1}{x^2+1}$

Với $x$ nguyên, để $y$ nguyên thì $x+1\vdots x^2+1(1)$

$\Rightarrow x(x+1)\vdots x^2+1$

$\Rightarrow (x^2+1)+(x-1)\vdots x^2+1$

$\Rightarrow x-1\vdots x^2+1(2)$

Từ $(1); (2)\Rightarrow (x+1)-(x-1)\vdots x^2+1$

$\Rightarrow 2\vdots x^2+1$

$\Rightarrow x^2+1=1$ hoặc $x^2+1=2$ (do $x^2+1\geq 1$ với mọi $x$ nguyên)

$\Rightarrow x=0$ hoặc $x=\pm 1$

$x=0$ thì $y=\frac{0^2+1}{0+1}=1$

$x=1$ thì $y=\frac{1^2+1}{1+1}=1$

$x=-1$ thì $y=0$

2/

$x^2+4xy+3y^2+4x+6y=0$

$\Leftrightarrow (x^2+4xy+4y^2)+4(x+2y)-2y-y^2=0$

$\Leftrightarrow (x+2y)^2+4(x+2y)=y^2+2y$

$\Leftrightarrow (x+2y)^2+4(x+2y)+4=y^2+2y+4$

$\Leftrightarrow (x+2y+2)^2=(y+1)^2+3$

$\Leftrightarrow 3=(x+2y+2)^2-(y+1)^2=(x+2y+2-y-1)(x+2y+2+y+1)$

$\Leftrightarrow 3=(x+y+1)(x+3y+3)$

Do $x,y$ nguyên nên đến đây ta xét các TH sau (đoạn này đơn giản rồi).

TH1: $x+y+1=1, x+3y+3=3$

TH2: $x+y+1=-1, x+3y+3=-3$

TH3: $x+y+1=3, x+3y+3=1$

TH4: $x+y+1=-3, x+3y+3=-1$

\(\dfrac{5}{3}-\dfrac{2}{3}\times\left(\dfrac{1}{4}+\dfrac{5}{6}\right):\dfrac{13}{3}\)

\(=\dfrac{5}{3}-\dfrac{2}{3}\times\left(\dfrac{3}{12}+\dfrac{10}{12}\right)\times\dfrac{3}{13}\)

\(=\dfrac{5}{3}-\dfrac{2}{13}\times\dfrac{13}{12}=\dfrac{5}{3}-\dfrac{1}{6}=\dfrac{10}{6}-\dfrac{1}{6}=\dfrac{9}{6}=\dfrac{3}{2}\)